• JC Duval

Espace des états quantiques et observables physiques

"Nous pouvons apprivoiser le monde quantique à l'aide de nos mathématiques, mais cela ne l'empêche pas d'être étrange, plus étrange même que tout ce que peut nous proposer notre imagination"

Heinz Pagels

 

Approche physique


J'ai déjà abordé le sujet concernant les états d'un système quantique. Pour une grandeur physique, certains états ont une valeur bien définie alors que d'autres - majoritaires - n'en ont pas. Ces derniers sont une combinaison linéaire d'états ayant une valeur bien définie.


Cependant au moment de la mesure, l'observateur récupérera une valeur même si l'état du système n'a pas de valeur bien définie. Le résultat de la mesure correspond à la valeur de l'un des états de la combinaison linéaire, un état qui lui a une valeur bien définie.

L'état quantique d'un système se définit comme une distribution de probabilités associées à chacun des états de la combinaison et comme l'énonce la règle de Born, même si le résultat de la mesure est aléatoire, il est également probabiliste.

Après la mesure, le système physique sera porté dans l'un des états à valeur bien définie lié à l'observable.


Ça, c'est le pompon ...

Voilà l'état du système avant la mesure, chaque brin correspondant à un état ayant une valeur bien définie.

Voilà l'état du système avant la mesure, chaque brin correspondant à un état ayant une valeur bien définie.

Voilà l'état du système après la mesure. On ne récupère qu'un seul brin de laine. Plus il est long, plus il aura eu de chance d'être tiré.

Voilà l'état du système après la mesure. On ne récupère qu'un seul brin de laine. Plus il est long, plus il aura eu de chance d'être tiré.

 

Approche mathématique


Mathématiquement, un état quantique peut être représenté, à un instant t, par un vecteur dans un espace de Hilbert, sous forme d'un ket : |Ψ(t)


Contrairement à la physique classique, la physique quantique décrit de façon fondamentalement différente l’état et les grandeurs d'un système. Un état est représenté par un ket et la grandeur par un opérateur.


Dans la vidéo que j'ai mise ci-dessous, Etienne Parizot nous raconte ce qu'est un espace de Hilbert - espace vectoriel sur lequel on va venir profiler les états d'une grandeur physique - il nous dit quelle structure utiliser pour effectuer les opérations au sein de cet espace - un espace muni d'un produit hermitien dans lequel l'ensemble des vecteurs d'état ayant une valeur bien définie forme une base orthonormée - et pour terminer, il définit ce qu'est un opérateur - un objet mathématique qui permet de révéler une "observable", étant entendu qu'une observable est une grandeur physique pertinente pour le système ou dit autrement une grandeur physique qui prend une valeur bien définie pour un ensemble d'états formant l'ensemble des résultats possibles issus de la mesure.

La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l'écriture des équations de la MQ


|Ψ⟩ = ∑i ⟨gi|Ψ⟩|gi


Chacun des |gi⟩ de la combinaison linéaire a comme coefficient (amplitude de probabilité) le bra-ket ⟨gi|Ψ⟩. ⟨gi|Ψ⟩ est un scalaire.

Autrement dit, les bra-ket ⟨gi|Ψ⟩ sont la représentation de |Ψ⟩ dans la base des {|gi⟩}. Ce sont les coordonnées du vecteur |Ψ⟩.

En MQ, on travaille dans l'espace des nombres complexes. Un bra-ket est un nombre complexe.

En MQ, on travaille dans l'espace des nombres complexes. Un bra-ket est un nombre complexe.

 

La mécanique quantique travaille dans un espace purement mathématique. Et la magie, c'est que cet espace colle à la réalité de notre monde physique ...

A l'heure où l'on entre dans l'ère du métaverse, la mécanique quantique a depuis près d'un siècle déjà crée son propre monde ...

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