• JC Duval

Mathématiques et esthétique

Les figures du mathématicien, comme celles du peintre ou du poète, doivent être belles.

Godfrey Hardy mathématicien britannique

 

Le nombre d'or


Le nombre d'or correspond au rapport entre un tout et ses parties. Mais cette combinaison n'est pas ordinaire. Si on décompose un objet en deux parties, on dit que la proportion est divine ou dorée, si le rapport entre la grande partie et la petite est le même que le rapport entre le tout et la grande partie.

Si (a + b)/a = a/b alors le rapport a/b est égal au nombre d'or

On rencontre le nombre d'or aussi bien dans la croissance des populations de lapins décrite par Fibonacci au moyen âge, que dans les proportions d'un pentagone régulier ou encore le nombre d'écailles sur la spirale d'une pomme de pin. De ce point de vue, le nombre d'or apparaît comme une représentation mathématique qui se retrouve partout autour de nous.

 

Phi

Phi, un nombre irrationnel unique solution positive de l'équation x² = x + 1

Dans les musées comme dans la nature, cette abondance ne fait aucun doute, beaucoup de tableaux ont d'ailleurs des proportions divines.

Certains pensent que nous avons une préférence innée pour l'esthétique du rectangle d'or. Mais finalement les mathématiques n'influent-ils pas tout simplement sur nos sens ? L'artiste qui choisit le format de sa toile le fait-il parce qu'il considère que le cadre est "élégant" ou alors en choisissant un rectangle d'or, s'appuie-t-il sur plus de deux mille ans de mathématiques et d'observation autour d'un équilibre qui rapproche les distances spatiales à la représentation que nous nous faisons du monde ?

Comment construire un rectangle d'or à partir d'un carré
 

Fibonacci


Au début du 13eme siècle, Leonardo Fibonacci étudia la croissance d'une population de lapins. Il construisit une suite qui porte de son nom et qui montre comment évolue le nombre de lapins sachant que les lapereaux ne peuvent pas se reproduire la 1ere année.

  • F0=0 ; F1=1 ; Fn=Fn-1+Fn-2

  • 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; …

La suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Cette suite est gouvernée par le nombre d'or.

Le rapport de 2 termes consécutifs de la suite est la meilleure approximation du nombre d'or. Au fil de la suite, ce rapport se rapproche de plus en plus du nombre d'or.


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