• JC Duval

Téléportation quantique

"Le langage mathématique qui explique la mécanique quantique existe mais manque le lien avec le langage ordinaire qui, lui, ne peut en rendre compte."

Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976)

 

La téléportation quantique s'applique aux états d'un système et non pas au système lui même. Ce n'est que dans les films de SF que l'on peut téléporter des êtres humains accompagnés ou non d'une mouche.

Donc pas question de téléporter de la matière, ni même de l'information, tout du moins contrôlée - je veux dire par là de l'information dont on connaîtrait le contenu. Si tel était le cas, on violerait les principes mêmes de la relativité qui dit que la vitesse d'une particule ou d'un signal ne peut pas dépasser la vitesse de la lumière.

 

La téléportation quantique


Nous allons nous positionner dans un espace d'états à deux dimensions, ou dit autrement sur un système binaire.

On peut par exemple effectuer la téléportation sur des photons orientés suivant une polarisation verticale |↑⟩ ou horizontale |→⟩.

 

Préparation de l'expérience


1/ On prend un système de 2 photons A et B dans l'état intriqué suivant :

• |Ψ⟩A+B = |+ |

Ces 2 photons sont fortement corrélés puisque si l'un est vertical l'autre l'est aussi ou si l'un est horizontal, l'autre l'est tout autant. Il n'existe pas d'autres possibilités.


2/ On sépare les 2 photons A et B. A est envoyé à Alice et B à Bob.


3/ Alice prend un 3eme photon C, qui est dans un état quelconque :

• |Ψ⟩C = α|+ β|

Comme nous l'avons vu dans le billet sur la superposition quantique, on ne peut pas connaître l'état de polarisation du photon C. Dans la base de polarisation |↑⟩ et |→⟩, son état est sans valeur bien définie.

 

Objectif de l'expérience


L'objectif est qu'Alice puisse téléporter l'état du photon C sur le photon B de Bob.


Pour cela la téléportation va s'appuyer sur 2 grands piliers de la MQ :

- d'une part, sur l'intrication

- d'autre part, sur la mesure qui au final, force l'état de tout système quantique à l'état mesuré.

L'interprétation de Copenhague laisse d'ailleurs tout simplement tomber les états du système qui ne sont pas pris en compte dans le résultat de la mesure.

 

Principe de l'expérience


En résumé, comment va se passer l'expérience ?

• Alice va faire interagir ses photons C et A, et comme A et B sont intriqués, les 3 photons vont constituer un système quantique à part entière.

• Alice va effectuer des opérations logiques sur ses photons C et A - au travers de portes quantiques qui modifient l'état du système sans que pour autant il y ait décohérence comme dans le cas d'une mesure. Comme les photons A et B sont intriqués, l'état du photon B de Bob va lui aussi être indirectement affecté, c'est à dire "quantiquement touché" si on essaye de se raccrocher à notre langage courant.

• Alice va ensuite effectuer une mesure sur sa paire de photons C et A. La mesure va venir perturber l'état global du système, B y compris. A l'issue de la mesure, ce dernier sera devenu indépendant, son intrication avec A ayant disparu.

• Mais comme la modification du système est fonction du résultat de la mesure, Alice va devoir transmettre le résultat qu'elle aura observé à Bob, Bob n'ayant effectué aucune mesure de son coté.

• Reste à Bob à lancer une opération logique sur son photon B, ce en fonction du résultat transmis par Alice. Suite à cette opération, le photon B de Bob va se retrouver dans le même état que le photon C d'Alice avant la téléportation.


Maintenant regardons l'expérience en détail …

 

Détail de l'expérience

L'état du photon C a été téléporté sur le photon B.

1/ Alice fait interagir les photons C et A.

A et B étant intriqués, on a donc un système global de 3 photons A, B, C positionnés dans l'état initial suivant :

|Ψ⟩C+A+B = |Ψ⟩C ⊗ |Ψ⟩A+B

|Ψ⟩C+A+B = (α|⟩ + β|⟩) ⊗ (|⟩ + |⟩)

|Ψ⟩C+A+B = α|⟩ + α|⟩ + β|⟩ + β|

2/ Alice fait passer la paire de photons (C,A) par une porte quantique CNOT qui conditionne l'inversion de l'état de A en fonction de la valeur de C.

L'état du système devient alors :

|Ψ⟩C+A+B = α|⟩ + α|⟩) + β|⟩ + β|

3/ Alice fait passer le photon C par une porte quantique Hadamard qui permet de transformer l'état du photon en deux états superposés de même poids.

L'état du système global devient alors :

|Ψ⟩C+A+B = α(|+ |) + α(|+ |) + β(|⟩ - |⟩) + β(|⟩ - |⟩)

Voilà l'état du système avant mesure.


4/ Maintenant, Alice effectue une mesure de polarisation sur la paire de photons (C,A).

On sait que la mesure force l'état du système à l'état mesuré. Suivant le résultat de la mesure, l'état du système va donc se retrouver dans l'un des 4 états suivant :


1- Si la mesure donne alors l'état

|Ψ⟩C+A+B = α(|⟩ + |⟩) + α(|⟩ + |⟩) + β(|⟩ - |⟩) + β(|⟩ - |⟩)

se retrouve en :

|Ψ⟩C+A+B = α |⟩ + β |


2- Si la mesure donne alors l'état

|Ψ⟩C+A+B = α(|⟩ + |⟩) + α(|⟩ + |⟩) + β(|⟩ - |⟩) + β(|⟩ - |⟩)

se retrouve en :

|Ψ⟩C+A+B = α |⟩ + β|


3- Si la mesure donne alors l'état

|Ψ⟩C+A+B = α(|⟩ + |⟩) + α(|⟩ + |⟩) + β(|⟩ - |⟩) + β(|⟩ - |⟩)

se retrouve en :

|Ψ⟩C+A+B = α|⟩ - β|


4- Si la mesure donne alors l'état

|Ψ⟩C+A+B = α(|⟩ + |⟩) + α(|⟩ + |⟩) + β(|⟩ - |⟩ + β(|⟩ - |⟩)

se retrouve en :

|Ψ⟩C+A+B = α|⟩ - β|

On voit que |Ψ⟩C+A+B = |Ψ⟩C+A ⊗ |Ψ⟩B

L'état du système est séparable. Après la mesure, le photon B de Bob n'est plus intriqué avec le photon A d'Alice.


On peut désormais écrire :

1 - Si la mesure donne

alors |Ψ⟩C+A+B = | ⊗ (α|⟩ + β|⟩)

2 - Si la mesure donne

alors |Ψ⟩C+A+B = | ⊗ (α|⟩ + β|⟩)

3 - Si la mesure donne

alors |Ψ⟩C+A+B = | ⊗ (α|⟩ - β|⟩)

4 - Si la mesure donne

alors |Ψ⟩C+A+B = | ⊗ (α|⟩ - β|⟩)

5/ Alice communique - via un canal classique - le résultat de sa mesure à Bob.


6/ En fonction du résultat transmis par Alice, Bob effectue sur B une des 4 opérations suivantes :


1 - Si alors |Ψ⟩B = α|⟩ + β|

donc Bob ne fait RIEN sur le photon B

2 - Si alors |Ψ⟩B = α|⟩ + β|

donc Bob fait passer le photon B par une porte NOT*

3 - Si alors |Ψ⟩B = α|⟩ - β|

donc Bob fait passer le photon B par une porte Pauli-Z**

4 - Si alors |Ψ⟩B = α|⟩ - β|

donc Bob fait passer le photon B par une porte NOT et une porte Pauli-Z


* La porte NOT opère une interversion :

• α|⟩ + β|⟩ devient β|⟩ + α|

** La porte Pauli-Z opère un changement de phase :

• α|⟩ + β|⟩ devient α|⟩ - β|


L'opération effectuée, l'état du photon B se retrouve dans le même état que le photon C avant la mesure, à savoir :

|Ψ⟩B= α|⟩ + β|


Alice et Bob ont réussi à téléporter l'état du photon C sur le photon B. Rappelons que cet état est sans valeur bien définie.

Magique … non ?

 

Limites de la téléportation


Nous avons vu qu'avant la mesure, le photon C dont on veut téléporter la polarisation, est sans orientation bien définie. La polarisation est réputée quelconque. Alice comme quiconque, n'est donc pas en mesure de connaître la polarisation de C.

Ce n'est qu'au moment de la mesure que le photon se positionnera de façon aléatoire dans une polarisation verticale |↑⟩ ou horizontale |→⟩ et qu'elle sera réellement observable.

Bob quant à lui, pour agir sur le photon B, devra attendre qu'Alice envoie le résultat de sa mesure - on notera au passage que tout comme la mesure a brisé l'intrication entre A et C, elle a également brisé l'intrication entre A et B.


Au final, ni Alice ni Bob ne connaissent la polarisation téléportée. Comme nous le notions au début de ce billet, aucune information quantique contrôlée ne peut être téléportée. Il faut rester cantonné au domaine de la physique classique avec de l'information dite "classique" pour pouvoir échanger de l'information contrôlée, communément c'est ce que utilisons tous les jours et appelons le transfert d'informations. Rien de quantique là dedans.

A noter aussi que la téléportation ne sera effective qu'après qu'Alice ait transmis à Bob - via un canal de communication "classique" - le résultat de sa mesure et qu'en fonction de celui-ci, Bob ait effectué une opération sur son photon. De manière effective, la téléportation ne peut pas se faire plus vite que la vitesse de la lumière.

 

Perspective


Si l'ordinateur quantique devenait une réalité, la téléportation d'informations quantiques permettrait de connecter des machines quantiques travaillant en réseau, un internet quantique en quelque sorte.


A noter que la téléportation peut se faire sur la polarisation d'un photon comme dans l'expérience que nous venons de voir, ou sur le spin de toute autre particule comme un électron par exemple.

 

Pour ceux qui veulent 'vraiment' en savoir plus …


Etienne Parizot explique la téléportation quantique.

Exemples de portes utilisées en MQ.
 
Même les nudistes peuvent se prendre une veste ...

Superposition quantique

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