Opérateur hermitique

Pour découvrir ce qu'est le monde de la réalité quantique, il ne faut pas se l'imaginer, mais plutôt spécifier très exactement comment nous l'observons.

Heinz Pagels

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Approche physique

Etats d'un système

Pour une grandeur physique, certains états d'un système ont une valeur bien définie alors que d'autres, majoritaires, n'en ont pas. Cependant, ces derniers peuvent être définis comme une combinaison d'états ayant une valeur bien définie.

La combinaison de plusieurs états est encore un état du système. C'est la grande découverte de la mécanique quantique.

Pour chacune des grandeurs physiques d’un système, la majorité des états du système n’a pas de valeur bien définie.

Toutefois, lors de la mesure, pour les états n'ayant pas de valeur bien définie, l'observateur récupérera la valeur de l'un des états de la combinaison qui le compose. Comme l'énonce la règle de Born, le résultat retourné est aléatoire et probabiliste.

La densité de probabilité dépend de l'amplitude de probabilité associée à chacun des états de la combinaison et à ce titre, la mesure contrevient aux lois déterministes habituellement attendues en physique. D'ailleurs, l'interprétation de Copenhague esquive en disant que le système physique se retrouve dans l'état qui correspond à la valeur remontée par la mesure, et il est vrai qu'après toute mesure le système se comporte comme tel.

👉 Mais au final, il n'y a pas plus simple, et c'est merveilleux car cela colle pile poil à notre perception du monde.

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Approche mathématique

Dans l'espace vectoriel de Hilbert, les états ayant une valeur bien définie sont "orthogonaux" les uns par rapport aux autres. Leur projection orthogonale les uns sur les autres est nulle, ou dit autrement, ils sont indépendants. Ils forment une base orthogonale.

Dès lors, pour une grandeur physique on peut s'amuser à construire un opérateur chargé d'associer une valeur particulière à chacun de ces états. Cet opérateur va être chargé d'associer une valeur propre à chacun des vecteurs propres de l'espace de Hilbert.

L'opérateur Ĝ est défini de telle sorte qu'à chaque état |gᵢ⟩ de la grandeur physique G est associée une valeur gᵢ bien définie.

Ĝ|gᵢ⟩ = gᵢ|gᵢ⟩

Comme nous l'avons vu, si les valeurs gᵢ sont distinctes alors la seule grandeur physique G, appelée aussi observable, suffit à distinguer l'ensemble des états |gᵢ⟩ du système.

Pour toute grandeur physique, grâce aux opérateurs il devient très facile de spécifier l'ensemble des valeurs liées aux états d'un système.

Un opérateur peut être représenté par une matrice diagonale. Chaque vecteur de base est un vecteur propre de cet opérateur avec la valeur propre correspondante portée sur la diagonale.

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Au final, on peut associer à l'opérateur Ĝ une grandeur physique G qui a la valeur gᵢ bien définie pour le ieme vecteur de base |gᵢ⟩.

L'opérateur Ĝ est hermitique, on dit aussi hermitien, ce qui garantit que les valeurs propres sont bien des nombres réels.

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Génial !

Observables