Opérateur hermitique
Pour découvrir ce qu'est le monde de la réalité quantique, il ne faut pas se l'imaginer, mais plutôt spécifier très exactement comment nous l'observons.
Heinz Pagels
Approche physique
Etats d'un système
Pour une grandeur physique, certains états d'un système ont une valeur bien définie alors que d'autres, majoritaires, n'en ont pas. Cependant, ces derniers peuvent être définis comme une combinaison d'états ayant une valeur bien définie.
La combinaison de plusieurs états est encore un état du système. C'est la grande découverte de la mécanique quantique.
Toutefois, lors de la mesure, pour les états n'ayant pas de valeur bien définie, l'observateur récupérera la valeur de l'un des états de la combinaison qui le compose. Comme l'énonce la règle de Born, le résultat retourné est aléatoire et probabiliste.
La densité de probabilité dépend de l'amplitude de probabilité associée à chacun des états de la combinaison et à ce titre, la mesure contrevient aux lois déterministes habituellement attendues en physique. D'ailleurs, l'interprétation de Copenhague esquive en disant que le système physique se retrouve dans l'état qui correspond à la valeur remontée par la mesure, et il est vrai qu'après toute mesure le système se comporte comme tel.
Valeur des états d'un système
C'est une lapalissade me direz vous mais ... pour tout état ayant une valeur bien définie, la mesure retourne une valeur qui caractérise le système tel qu'il était au moment de la mesure.
S'il était possible que cette valeur puisse le caractériser en propre alors elle permettrait de révéler l'état du système de manière non ambiguë.
Et bien justement, la MQ s'appuie sur un espace - que l'on nomme espace de Hilbert - dans lequel pour une grandeur physique, on identifie l'ensemble des états ayant une valeur bien définie.
Pour une grandeur physique, si chaque état ayant une valeur bien définie prend une valeur distincte, il suffit alors d'une seule et unique grandeur physique pour les distinguer. La relation est biunivoque, à un état correspond une valeur et à une valeur correspond un état.
Par contre pour une grandeur physique, si plusieurs états ayant une valeur bien définie prennent la même valeur, cette valeur est dite "dégénérée".
Pour un système, une seule grandeur physique ne permet donc pas toujours de distinguer l'ensemble des états à valeur bien définie. Il est cependant toujours possible d'employer une ou plusieurs autres grandeurs physiques compatibles permettant de tous les différencier.
Pour distinguer l'état d'un système, il peut être nécessaire d'utiliser plusieurs grandeurs physiques "discriminantes".
Au final, il n'y a pas plus simple, et c'est merveilleux car cela colle pile poil à notre perception du monde.
Approche mathématique
Dans l'espace vectoriel de Hilbert, les états ayant une valeur bien définie sont "orthogonaux" les uns par rapport aux autres. Leur projection orthogonale les uns sur les autres est nulle, ou dit autrement, ils sont indépendants. Ils forment une base orthogonale.
Dès lors, pour une grandeur physique on peut s'amuser à construire un opérateur chargé d'associer une valeur particulière à chacun de ces états. Cet opérateur va être chargé d'associer une valeur propre à chacun des vecteurs propres de l'espace de Hilbert.
L'opérateur Ĝ est défini de telle sorte qu'à chaque état |gi⟩ de la grandeur physique G est associée une valeur gi bien définie.
Ĝ|gi⟩ = gi|gi⟩
Comme nous l'avons vu, si les valeurs gi sont distinctes alors la seule grandeur physique G, appelée aussi observable, suffit à distinguer l'ensemble des états |oi⟩ du système.
Pour toute grandeur physique, grâce aux opérateurs il devient très facile de spécifier l'ensemble des valeurs liées aux états d'un système.
Un opérateur peut être représenté par une matrice diagonale. Chaque vecteur de base est un vecteur propre de cet opérateur avec la valeur propre correspondante portée sur la diagonale.
Au final, on peut associer à l'opérateur Ĝ une grandeur physique G qui a la valeur gi bien définie pour le ieme vecteur de base |gi⟩.
L'opérateur Ĝ est hermitique, on dit aussi hermitien, ce qui garantit que les valeurs propres sont bien des nombres réels.
Génial !