• JC Duval

L'identité d'Euler

0 ; 1 ; e ; i ; π  ; * ; ^ ; + ; =

 

La formule d'Euler

Portrait d'Euler - 1707 1783

Commençons par la formule éponyme qui a été découverte par le suisse Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Cette formule définit la fonction exponentielle imaginaire de la manière suivante :

 
Démonstration par les séries de Taylor.
 
L'exponentielle imaginaire représente le cercle trigonométrique.
 

L'identité d'Euler


En 1988, le Mathematical Intelligencer, magazine consacré aux mathématiques, a élu l'identité remarquable qui découle de la formule d'Euler comme étant la plus belle des identités mathématiques.

en notation polonaise 0 ; 1 ; e ; i ; π  ; * ; ^ ; + ; =

Elle touche différentes branches des mathématiques :

- l'algèbre : avec l'addition, la multiplication et l'exponentiation.

- l'analyse : avec la fonction exponentielle imaginaire.

- la géométrie : avec l'exponentielle imaginaire qui est une fonction trigonométrique.


Elle combine aussi plusieurs constantes fondamentales :

1, élément neutre de la multiplication, qui représente l'unité en arithmétique.

0, élément neutre de l'addition, qui représente l'élément nul ou le 'rien', toujours en arithmétique

π, nombre irrationnel valant 3,141... qui représente le rapport entre la circonférence et le diamètre du cercle, en géométrie.

e, appelé nombre d'Euler, nombre irrationnel valant 2,718... pour lequel le logarithme népérien vaut 1. Le taux d'accroissement de la fonction e est l'exponentielle e elle même.

En langage mathématique, la fonction exponentielle e est l’unique fonction dérivable sur R qui est sa propre dérivée. Exp(x)' = Exp(x). On retrouve e partout, dans la nature, dans la société, l'économie ou encore les pandémies.

i, représentant l'unité des nombres imaginaires, qui permet de résoudre les équations polynomiales qui n'ont pas de solution. Le carré de i vaut -1.


Voilà une identité qui bien que très condensée mélange plusieurs grands domaines des mathématiques et nous éclaire sur certaines propriétés de la nature comme par exemple la physique atomique, les lasers ou l'électricité.

La fonction exponentielle imaginaire s'applique à des systèmes subissant des variations harmoniques, c'est à dire des variations sinusoïdales de leurs grandeurs physiques. Au niveau de l'atome le nuage électronique vibre suivant une certaine fréquence, le laser est une amplification de la lumière, l'électricité elle encore est sujette aux écarts de tension du courant alternatif.


Comme le disait Eugène Wigner : "Nul ne sait d'où vient cette irraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature."

 

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Source Clipedia

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