"Science sans concience n'est que ruine de l'âme "
François Rabelais / écrivain, médecin, 1483 - 1553
Quand au lycée, j'ai entendu parler du produit scalaire pour la première fois, j'ai trouvé que ça n'était pas très clair. D'emblée notre prof de maths nous avait balancé sa définition sans nous dire à quoi ça pouvait bien servir.
Alors le produit scalaire, c'est quoi au juste ? Qu'est-ce donc que cette drôle d'opération qui appliquée à 2 vecteurs donne un nombre réel ?
Tout d'abord commencons par une observation. Le produit scalaire est utilisé notamment pour modéliser le travail d'une force. La façon la plus efficace d'utiliser son énergie pour tirer une luge avec une corde est de tirer dans le sens du déplacement. Plus la direction de la force appliquée est dans l'alignement, plus le "travail" de celui qui tracte est efficace. Une traction perpendiculaire à la luge ne modifiera pas son mouvement, sauf à la soulever.
Le travail élémentaire est le produit scalaire de la force par le déplacement élémentaire.
Le déplacement correspond au déplacement du point d'application de la force.
Voyons maintenant le lien qui unit cet opérateur mathématique et les objets physiques sur lesquels on peut venir l'appliquer. Tout d'abord revenons sur la définition d'un espace vectoriel. C'est un ensemble muni d'une structure qui permet d'effectuer des combinaisons linéaires.
Une grandeur dite vectorielle peut être représentée par un vecteur. C'est une grandeur physique caractérisée par une valeur encore appelée une norme qui correspond à la longueur du vecteur, mais aussi par une direction et par un sens sur cette direction. L'accélération, la vitesse, le déplacement ou encore la force sont des grandeurs vectorielles.
Grandeurs vectorielles
Une grandeur scalaire est une grandeur physique qui n'est caractérisée que par une valeur. Le volume, la température ou encore le travail sont des grandeurs scalaires.
La température est une grandeur scalaire
Comme son nom l'indique, le produit scalaire est une grandeur scalaire qui est le résultat de l'association de deux grandeurs vectorielles. Ainsi le travail est le résultat du produit de la force par le déplacement. Les deux vecteurs étant orientés, l'angle qui les sépare détermine leur degré de dépendance. Si les deux vecteurs sont colinéaires la corrélation est maximale, à l'inverse si les deux vecteurs sont orthogonaux, elle est nulle.
Et quelle fonction respecte cette règle en math ?
Et bien c'est le cosinus, qui vaut 1 pour un angle nul et vaut 0 pour un angle droit.
Le produit scalaire est le produit des longueurs des deux vecteurs quand l'un est projeté sur l'autre ou inversement.
☞ Pour résumer
Le produit scalaire est une grandeur qui transcrit le rapport qui existe entre 2 vecteurs. Il permet de mesurer leur degré de dépendance.
Si les deux vecteurs sont parallèles, leur dépendance est maximale [cos(0) = 1] et le produit scalaire est le produit de leurs normes.
Si les deux vecteurs sont orthogonaux, leur dépendance est nulle [cos(π/2) = 0] et le produit scalaire est égal à zéro.
Le produit hermitien est l'équivalent du produit scalaire à la différence près qu'il déambule dans un espace vectoriel complexe. Un produit hermitien entre 2 vecteurs complexes donne toujours un nombre réel, toute grandeur physique se devant de refléter une réalité. Le produit hermitien est notamment utilisé en mécanique quantique, un monde dans lequel on manipule les nombres imaginaires.
Pour pouvoir travailler dans un espace vectoriel, il doit être muni d'opérateurs. Comme nous venons de le voir certains d'entre eux transforment 2 vecteurs en scalaire, et ainsi une grandeur scalaire résulte du produit de deux grandeurs vectorielles.
Pour décrire le monde, les grandeurs vectorielles sont indéniablement des grandeurs fondamentales et le produit scalaire appliqué à ces grandeurs les rend palpables.
Pour ceux qui veulent en savoir plus …
Clipédia
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