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  • Photo du rédacteurJC Duval

Relation de fermeture

Entre la femme et moi, il y a toujours une fermeture éclair qui se coince.

Woody Allen

 

Mathématiquement, un état quantique peut être représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert, sous forme d'un ket |Ψ⟩.


Tout état quantique est la combinaison de vecteurs de bases |gi qui auront été choisis dans l'espace de Hilbert, la base des {|gi⟩} représentant les états ayant des valeurs gi bien définies pour la grandeur correspondante.


|Ψ⟩ = ∑i ⟨gi|Ψ⟩|gi


Pour |Ψ⟩, chaque |gi de la combinaison a comme coefficient le bra-ket ⟨gi|Ψ⟩ (amplitude de probabilité de voir la mesure retourner la valeur gi).

Autrement dit, les bra-ket ⟨gi|Ψ⟩ sont la représentation de |Ψ⟩ dans la base des {|gi⟩}, ce sont les coordonnées de |Ψ⟩ dans la base des {|gi⟩}.


Si maintenant on réécrit |Ψ⟩ sous la forme :

|Ψ⟩ = ∑i ⟨gi|Ψ⟩|gi⟩ = ∑i |gi⟨gi|Ψ⟩

|Ψ⟩ = ∑i |gi⟩⟨gi|Ψ⟩ = Îd |Ψ⟩

i |gi⟩⟨gi| est l'opérateur identité.

Opérateur identité sous forme de matrice

Opérateur identité sous forme matricielle.


Chaque "ket-bra" |gi⟩⟨gi| est une matrice avec des 0 partout sauf un 1 à la ligne et à la colonne d'indice i. Au final, la combinaison de leur somme donne la matrice identité.

En jargon mathématique, l'utilisation de l'opérateur identité i |gi⟩⟨gi| s'appelle une relation de fermeture.

Cette utilisation est redoutable car en pratique on peut insérer une relation de fermeture là où on le souhaite et faire ainsi apparaître des matrices dans les formulations de Dirac.


Ex : Produit scalaire ⟨Ψ12⟩ des états Ψ1 et Ψ2


Le bra ⟨Ψ1| = ∑j αj* ⟨gj| j* : complexe conjugué de αj)

⟨Ψ1|gi⟩ = (∑j αj* ⟨gj|)|gi⟩ = ∑j αj* ⟨gj|gi⟩ = ∑j αj* δji

Comme la base des {|gi⟩} est orthonormée :

si i = j alors δji =1 sinon δji = 0

☞ ⟨Ψ1|gi⟩ = αi* (traduit la projection de gi sur Ψ1)


Le ket |Ψ2⟩ = ∑j βj |gj

⟨gi2⟩ = ⟨gi|(∑j βj |gj⟩) = ∑j βj ⟨gi|gj⟩ = ∑j βj δij

Comme la base des {|gi⟩} est orthonormée :

si i = j alors δij =1 sinon δij = 0

☞ ⟨gi2⟩ = βi (traduit la projection de Ψ2 sur gi)

⟨Ψ12⟩ = ⟨Ψ1|(∑i |gi⟩⟨gi|)2

⟨Ψ12⟩ = ∑i ⟨Ψ1|gi⟩⟨gi2

☞ ⟨Ψ12⟩= ∑i αi* βi (traduit la projection de Ψ2 sur Ψ1)


 
 

Le ket généralisé


Si on prend une base {|x⟩} avec x , on peut représenter l'état quantique |Ψ⟩ d'un système comme une combinaison linéaire des éléments de la base. Mais comme la base n'est pas dénombrable, le ket |x⟩ dit "ket généralisé", ne fait pas partie de l'espace des états qui lui, est de dimension dénombrable.

Néanmoins, il est possible de définir un opérateur X̂ tel que X̂ |x⟩ = x |x⟩. Pour représenter |Ψ⟩, on doit alors remplacer la somme discrète (utilisée plus haut) par une intégrale sur la fonction qui à x associe Ψ(x).


|Ψ⟩ = -+∞ Ψ(x) |x⟩ dx avec Ψ(x) = ⟨x|Ψ⟩


Il est possible de réécrire |Ψ⟩ sous la forme :

|Ψ⟩ = -+∞ Ψ(x) |x⟩ dx = -+∞ ⟨x|Ψ⟩ |x⟩ dx = -+∞ dx |x⟨x|Ψ⟩

|Ψ⟩ = -+∞ dx |x⟩⟨x|Ψ⟩ = Îd |Ψ⟩


⟢ On peut ainsi généraliser la relation de fermeture en appliquant l'opérateur identité Îd = ∫-+∞ dx |x⟩⟨x| dx, au cas d'une base {|x⟩} non dénombrable.





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