Relation de fermeture
Entre la femme et moi, il y a toujours une fermeture éclair qui se coince.
Woody Allen
Mathématiquement, un état quantique peut être représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert, sous forme d'un ket |Ψ⟩.
Tout état quantique est la combinaison de vecteurs de bases |gi⟩ qui auront été choisis dans l'espace de Hilbert, la base des {|gi⟩} représentant les états ayant des valeurs gi bien définies pour la grandeur correspondante.
|Ψ⟩ = ∑i ⟨gi|Ψ⟩|gi⟩
Pour |Ψ⟩, chaque |gi⟩ de la combinaison a comme coefficient le bra-ket ⟨gi|Ψ⟩ (amplitude de probabilité de voir la mesure retourner la valeur gi).
Autrement dit, les bra-ket ⟨gi|Ψ⟩ sont la représentation de |Ψ⟩ dans la base des {|gi⟩}, ce sont les coordonnées de |Ψ⟩ dans la base des {|gi⟩}.
Si maintenant on réécrit |Ψ⟩ sous la forme :
☞ |Ψ⟩ = ∑i ⟨gi|Ψ⟩|gi⟩ = ∑i |gi⟩⟨gi|Ψ⟩
☞ |Ψ⟩ = ∑i |gi⟩⟨gi|Ψ⟩ = Îd |Ψ⟩
∑i |gi⟩⟨gi| est l'opérateur identité.
Opérateur identité sous forme matricielle.
Chaque "ket-bra" |gi⟩⟨gi| est une matrice avec des 0 partout sauf un 1 à la ligne et à la colonne d'indice i. Au final, la combinaison de leur somme donne la matrice identité.
En jargon mathématique, l'utilisation de l'opérateur identité ∑i |gi⟩⟨gi| s'appelle une relation de fermeture.
Cette utilisation est redoutable car en pratique on peut insérer une relation de fermeture là où on le souhaite et faire ainsi apparaître des matrices dans les formulations de Dirac.
Ex : Produit scalaire ⟨Ψ1|Ψ2⟩ des états Ψ1 et Ψ2
Le bra ⟨Ψ1| = ∑j αj* ⟨gj| (αj* : complexe conjugué de αj)
⟨Ψ1|gi⟩ = (∑j αj* ⟨gj|)|gi⟩ = ∑j αj* ⟨gj|gi⟩ = ∑j αj* δji
Comme la base des {|gi⟩} est orthonormée :
si i = j alors δji =1 sinon δji = 0
☞ ⟨Ψ1|gi⟩ = αi* (traduit la projection ⊥ de gi sur Ψ1)
Le ket |Ψ2⟩ = ∑j βj |gj⟩
⟨gi|Ψ2⟩ = ⟨gi|(∑j βj |gj⟩) = ∑j βj ⟨gi|gj⟩ = ∑j βj δij
Comme la base des {|gi⟩} est orthonormée :
si i = j alors δij =1 sinon δij = 0
☞ ⟨gi|Ψ2⟩ = βi (traduit la projection ⊥ de Ψ2 sur gi)
⟨Ψ1|Ψ2⟩ = ⟨Ψ1|(∑i |gi⟩⟨gi|)|Ψ2⟩
⟨Ψ1|Ψ2⟩ = ∑i ⟨Ψ1|gi⟩⟨gi|Ψ2⟩
☞ ⟨Ψ1|Ψ2⟩= ∑i αi* βi (traduit la projection ⊥ de Ψ2 sur Ψ1)