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  • Photo du rédacteurJC Duval

Sphère de Bloch

Sphère : Surface fermée dont les points sont à égale distance d'un point intérieur, le centre.

Sphère de Bloch : Représentation des états d'un qbit sur une sphère.

 

L'état |Ψ⟩ d'un système dans un espace de dimension deux, un qbit, peut être décomposé en deux états propres que l'on notera ici |0⟩ et |1⟩

|Ψ⟩= α |0⟩ + β |1⟩ avec |α|²+|β|² = 1


Maintenant passons à une partie un peu moins digeste mais qui permet de se faire une bonne image mentale de ce qu'est un qbit 😱 Faisons un peu de trigo géométrique Si on représente l'espace bi-dimensionnel des états d'un système quantique comme la surface d'une sphère, il est alors possible sans nuire à la généralité, de choisir α ⋲ ℝ⁺ et fixer α=cos⁡(θ/2), d'en déduire β [|α|²+|β|² =1 ☞ β=sin⁡(θ/2)] et sachant que les facteurs de phase n'affectent pas l'état physique d'un système, de donner un degré de liberté à β [eⁱᵠ], pour au final réécrire |Ψ⟩ comme :

☞ |Ψ⟩= cos⁡(θ/2) |0⟩ + eⁱᵠ sin⁡(θ/2) |1⟩ avec 0≤θ≤π et 0≤φ<2π


Dans le repère du dièdre x, y, z ayant comme origine le centre O de la sphère unité de ℝ³, tout point M situé sur cette sphère a pour coordonnées sphériques

OM=(1,θ,𝜑) avec θ l'angle par rapport à z et 𝜑 l'angle par rapport à x

Sphère de Bloch

La sphère de Bloch.


Cette représentation décrit sans aucune ambiguïté l'état d'un qbit. α et β définis sur les angles θ et 𝜑, spécifient de manière unique un point de la sphère, point de coordonnées cartésiennes

x=sin⁡θ x cos⁡𝜑

y=sin⁡θ x sin⁡𝜑

☞ z=cos⁡θ

Différents états d'un qbit représentés sur la sphère de Bloch

Cette animation balaye les différents états pouvant être pris par un qbit. A tout instant, le vecteur d'état (flèche rouge ) pointe l'état du qbit sur la sphère de Bloch.

 

Si on prend le cas particulier des deux états propres |0⟩ et |1⟩ :

✧ Pour |0⟩, cos⁡(θ/2)=1 et eⁱᵠ sin⁡(θ/2)=0 ☞ θ=0 et 𝜑 est quelconque

|0⟩ se situe au pôle nord de la sphère de Bloch

✧ Pour |1⟩, cos⁡(θ/2)=0 et eⁱᵠ sin⁡(θ/2)=1 ☞ θ et 𝜑 est quelconque

|1⟩ se situe au pôle sud de la sphère de Bloch


⚠️ Attention, les 2 états propres |0⟩ et |1⟩ sont orthogonaux dans l'espace des états, mais sont opposés sur la sphère de Bloch. On peut même généraliser en disant que 2 états correspondant à des points diamétralement opposés sur la sphère de Bloch sont dans la base des états. N'importe quelle paire de points diamétralement opposés peuvent être pris comme états propres.

Vecteurs de bases

Représentation de paires d'états propres situés à une même latitude.

 

✧→ A tout état d'un qbit peut donc être associé de manière biunivoque, un point de la sphère de Bloch, espace abstrait à deux dimensions plongé dans un espace à trois dimensions. Et chose singulière, au vecteur d'état qui pointe dans une direction (suivant les 2 angles θ et φ) correspond l'état du moment magnétique appelé aussi spin qui au sein de notre espace géométrique, pointe dans cette même direction*.


* Dans le cadre de la physique classique, on peut faire une analogie en prenant comme exemple la vitesse et le déplacement d'un objet. La vitesse se décline dans l'espace vectoriel lié aux vitesses et sa direction pointe dans la même direction que le déplacement de l'objet au sein de l'espace géométrique dans lequel nous déambulons tous les jours.

 

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