top of page
  • Photo du rédacteurJC Duval

Valeur attendue

Madame, je refuse de signé une note aussi mauvaise. Thomas ma dit qui devrait avoir la moyenne. Merci de bien vouloir corrigée la note pour que je la signe.

 

〄 "Expected value" comme disent les anglo-saxons est un terme que l'on peut traduire par "valeur attendue".

Cela correspond à la moyenne des valeurs retournées lors d'une série de mesures.

The expected value


Pour 2€, vous lancez un dé non pipé. Si vous tombez sur le six, vous gagnez 10€, sinon vous ne gagnez rien. Avez vous plus de chance de gagner de l'argent que d'en perdre ?

🥺 Eh bien, vous devez vous attendre à perdre en moyenne 33 ctes chaque fois que vous lancez le dé.

Ev = (5/6*-2) + (1/6*8) = -1/3

Par contre, si on vous donne 12€ quand vous tombez sur le 6, vous allez rentrer dans vos fonds.

 

En physique quantique, si avant une mesure, un système est dans un état qui n'a pas de valeur bien définie, la mesure va quand même retourner une valeur, une des valeurs qui peuvent être prises par le système et ce pour la grandeur physique considérée. Après la mesure, le système va ainsi se retrouver dans l'état qui correspond à cette valeur.

Prenons un exemple et examinons un système qui peut prendre deux valeurs : 0 ou 1. Si le système est dans un état superposé [de fait, il n’a pas de valeur bien définie], la mesure va alors soit retourner la valeur 0 et dans ce cas le système va se retrouver dans l'état "0", soit retourner la valeur 1 et dans ce cas le système va se retrouver dans l'état "1".


Continuons avec notre exemple …

Pour une grandeur G qui prend les valeurs 0 et 1, la moyenne des valeurs mesurées notée <Ĝ> est égale à la somme des valeurs des états combinés, chaque valeur étant pondérée avec la probabilité de la mesurer.


<Ĝ> = (Proba de mesurer 0 * 0) + (Proba de mesurer 1 * 1)


A souligner que les probabilités sont distribuées sur les états combinés, la seule obligation étant que leur somme soit égale à 1, ce qui signifie qu'il existe une infinité de combinaisons possibles pour caractériser un état superposé.


⚠︎ Si on effectue une série de mesures sur un système quantique - en ayant préalablement pris soin de le préparer de la même manière ou dit autrement avoir réappliqué avant chaque mesure les mêmes probabilités aux différents états de la combinaison - la "valeur attendue" sera tout sauf une valeur possible du système.

En l'occurrence dans notre exemple, si pour les 2 états de la combinaison ["0" et "1"], les probabilités sont identiques alors la "valeur attendue" sera 1/2.

 <Ĝ> = (½ * 0) + (½ * 1) = ½

Vous voyez, la 'valeur attendue' pour un système quantique, ne sera jamais une des valeurs pouvant être prises par le système !

Sauf et si on veut être rigoureux, dans le cas très particulier où avant la mesure l'état du système est un état propre. Si tel est le cas, la mesure reflète ipso facto la valeur de l'état du système avant sa mesure.

 

Bonus

soit |φ> = 1/√2 |0> + 1/√2 |1>
avec Ĝ|0> = 0|0> et Ĝ|1> = 1|1>
alors 
<Ĝ> = <φ|Ĝ|φ> = ((1/√2)² * 0) + ((1/√2)² * 1) = 1/2

Comments


bottom of page