• JC Duval

Equiprojectivité des vitesses

“Je voudrais que la terre s'arrête de tourner pour descendre”

Serge Gainsbourg

 

Drôle de titre, me direz vous, mais après ce billet vous allez voir, ce qui se cache derrière ces mots n'est pas très compliqué.


Tout d'abord, définissons ce qu'est un solide. Un solide est un corps dont la distance qui sépare deux de ses points ne change pas au cours du temps et ce, quels que soient ces points. C'est ce qui caractérise le fait qu'un solide est indéformable.

Par contre, par rapport à nous, il peut se déplacer. Sa distance à nous, peut changer … Comme vous le savez peut-être, pour définir tout mouvement, il est nécessaire de fixer une référence d’observation, à ce titre un mouvement est toujours relatif et on définira le mouvement du solide par rapport à un référentiel.

Vu de l'observateur, le solide peut avoir un mouvement de translation, son centre d'inertie ayant une trajectoire rectiligne, curviligne voire circulaire, il peut aussi avoir un mouvement de rotation en tournant sur lui même, et il peut même combiner les deux.


Un astéroïde en rotation


Par définition, la vitesse de translation de l'ensemble des points matériels d'un solide est la même. Par contre, si infime soit sa rotation, la vitesse angulaire du solide se traduit par une vitesse linéaire qui est propre à chacun de ses points et ce, en fonction de leur distance à l'axe de rotation.

Dès lors, sachant que le champ des vitesses résulte de la combinaison entre la vitesse de translation et la vitesse angulaire, on peut légitimement se demander comment la distance entre deux points peut rester fixe alors qu'ils n'ont pas la même vitesse.

Quelle relation peut-on établir entre ces grandeurs et quelle relation peut bien exister entre les vitesses des différents points d'un solide ?


Eh bien c'est simple. Si vous projetez orthogonalement les vecteurs vitesse de deux points d'un solide sur la droite qui relie ces deux mêmes points, vous arriverez au même résultat.

En effet, comme la distance entre les points d'un solide ne change pas, la composante de la vitesse sur la droite qui relie deux de ses points ne peut être que la même. Les vitesses des différents points d'un solide sont donc liées par une relation d'équiprojectivité.


Ce qu'il faut retenir …


Le champ de vitesse d'un solide est un "torseur" qui décrit le mouvement de chaque point. Les vitesses sont liées les unes aux autres au travers d'une dépendance physique qui est tout simplement due au fait que la distance entre les points d'un solide sous entendu indéformable, ne change pas.

La projection orthogonale des vecteurs vitesses attachés aux points A et B sur la droite qui les relie, est la même.

Pour un solide, la distance entre A et B se doit de rester constante dans le temps.

 

Pour ceux qui veulent creuser un peu …


Dans le schéma ci dessus, on peut dire qu'outre le fait que le solide est en translation vers la droite, il est aussi en rotation et qu'à chaque instant il existe un point nommé centre instantané de rotation autour duquel il tourne.

Le solide tourne autour de son centre de rotation.

 

Le lancer de marteau

Le centre de rotation suit une trajectoire qui accompagne le mouvement du marteau.

 

Le centre de rotation (CIR) peut se situer soit à l'extérieur, soit à l'intérieur du solide.

 

Quelques cas particuliers …


• Si le CIR est sur le segment AB, alors les vecteurs sont colinéaires et de sens opposés.

Le solide tourne sur lui même autour d'un point qui se trouve être son centre d'inertie.

Pas de translation


• Si le CIR est sur la droite AB (hors segment AB), alors les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

Le solide est en translation circulaire.

Pas de rotation


• Si le CIR est dans l'infini de la droite AB, alors les vecteurs sont égaux.

Le solide est en translation.

Pas de rotation

 

Dans nos exemples et afin de simplifier l'approche, nous avons considéré le solide comme plan avec des vecteurs vitesses orientés suivant ce même plan, ce qui nous a amené à définir le centre de rotation comme un point.

Mais un solide a 3 dimensions et il peut se déplacer dans toutes les directions. Sachant que les mouvements d'un corps sont relatifs à un référentiel, ils peuvent donc être décrits suivant les trois axes du référentiel dans lequel on se place pour l'observer.

Les translations peuvent ainsi être décomposées suivant trois directions et les rotations peuvent être centrées autour de trois axes.

Rotation suivant l'axe Z.

Les points se trouvant à la même distance de l'axe de rotation ont la même vitesse linéaire.

 

Si le champ des vitesses n'est pas orthoradial alors la rotation se transforme en précession, voire en nutation.



Se mouvoir dans le vide

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