• JC Duval

Exponentielle

“Celui qui croit à une croissance exponentielle infinie dans un monde fini est soit un fou, soit un économiste”

Kenneth E. Boulding économiste, théoricien des systèmes et philosophe américain 1910 - 1993

 

Quand une fonction augmente de plus en plus vite, on dit que sa croissance est exponentielle. Ce type de fonction a trait à l'utilisation d'exposants.

La fonction f(x) est une fonction dont la variable x est un exposant.

 

Fonction exp(x)


Il existe une fonction exponentielle qui a la particularité d'être égale à sa dérivée. Ce qui en français veut dire qu'à tout moment la fonction équivaut à son taux de variation. La variation augmente de paire avec la fonction, cette dernière reflétant en permanence la manière dont elle augmente. Cette fonction qui donne son propre taux de variation, est caractérisée par 1 valeur particulière de la constante à laquelle on vient appliquer la variable x comme exposant. Par convention, on note cette constante 'e'.

On note cette fonction exp(x) ou encore e^x




En tout point de la courbe de la fonction exp, la pente est égale à exp(x)

 

La valeur de 'e'


Nous venons de voir qu'il existe une fonction exponentielle particulière de base 'e'. Mais quelle est la valeur de 'e' qui va permettre à cette fonction dite "exponentielle naturelle" d'être égale à sa dérivée ?

Cette constante 'e' nommée nb d'Euler ou constante de Néper en référence à Leonhard Euler et John Napier, vaut environ 2,71828.

Euler a établi que 'e' est la limite de la somme de cette série

 

Exponentielle et logarithme


'e' est aussi la base des "logarithmes naturels", c'est-à-dire le nombre défini par ln(e) = 1.


Les courbes ln et exp sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice y=x


La fonction exponentielle de base e et la fonction logarithme népérien sont des fonctions réciproques.


☞ ln(exp(x)) = x

☞ exp(ln(x)) = x

☞ exp(x) = y ←→ x = ln(y)

 

L'intérêt de e


A titre d'exemple, on retrouve 'e' aussi bien dans le calcul d'intérêts que dans l’accroissement de la population. Si une population voit naître plus d’individus qu’il n’en meurt, alors elle augmente et ce d'autant plus vite que sa taille est importante.

Autre exemple, quand on tend un fil entre deux poteaux, chaque portion du fil baisse d’autant plus que le poids total du fil jusqu’à cet endroit est important. Plus on s’éloigne du point d’attache, plus le poids de la portion de fil est important et plus il baisse. Encore une exponentielle. D’ailleurs, la courbe dessinée par les fils électriques entre leurs poteaux est celle d’une fonction faisant intervenir des exponentielles (la courbe n'est pas une parabole).


Ainsi, les exemples sont nombreux : des réactions chimiques à la radioactivité en passant par la charge électrique d’un condensateur, à la concentration des étoiles dans une galaxie ou encore à la diffusion des épidémies … tous ces phénomènes affectent des grandeurs physiques dont la variation dépend de leur propre valeur.

Pour finir, on voit donc qu'une fonction à croissance exponentielle ne se limite pas qu'à un simple rôle de jouet mathématique. Elle éclaire et dévoile une caractéristique intrinsèque de la nature que l'on retrouve dans un grand nombre de phénomènes, que ce soit en chimie, en biologie, en physique, en sociologie ou encore en économie …

Actuellement, il nous faut 1,75 Terre pour regénérer ce que l'humanité consomme.
 

Pour ceux qui veulent en savoir un peu plus …


Clipédia - le nombre 'e'


Identité d'Euler

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