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  • Photo du rédacteurJC Duval

Matrices de transformation

Toute loi physique doit être empreinte de beauté mathématique.

Paul Dirac

 

⚙️ Les transformations peuvent être modélisées par des matrices et quand on se place dans un espace à deux dimensions on peut les visualiser en utilisant des images. Dans un plan, les matrices de transformation se révèlent grâce à la transformation des images sur lesquelles on vient les appliquer.

Dans l'espace, on peut de même les visualiser en utilisant la transformation des volumes, mais au delà de ce cadre tridimensionnel, il est impossible de se les représenter, même si elles existent bien.

Transformation d'une image avec la matrice associée

Transformation d'une image avec la matrice 2x2 associée


La vidéo proposée ci-après par Clipédia présente les matrices de transformation au travers de petits exemples :

• L'exemple d'une transformation de symétrie axiale montre que l’inverse de la matrice de transformation est une transformation inverse; si on applique une matrice inverse à une image qui est retournée, on revient alors à l’image de départ. On constate ainsi que dans une transformation de symétrie axiale si la transformation est appliquée deux fois, on retrouve l'image d'origine.

• L’interprétation du produit matriciel montre qu'une application de deux transformations successives A et B est représentée par la matrice produit BA. Cet exemple est aussi l’occasion de voir la propriété de non-commutativité de la multiplication.

• Enfin pour terminer, l'exemple d'une transformation par rotation montre que la matrice est obtenue en calculant la transformation des vecteurs de base (1,0) et (0,1). Les colonnes d’une matrice carrée sont les deux transformées des vecteurs de base.


En conclusion, pour obtenir la matrice d’une transformation, il suffit tout juste de connaître la façon dont les vecteurs de base sont transformés.


 

Les matrices de transformations sont importantes en mécanique quantique. Elles permettent de rendre compte de l'évolution des systèmes.


Matrices de Pauli


Ces matrices construites suivant les 3 axes x, y et z de l'espace, sont utilisées notamment pour modaliser le spin des particules.

Matrices de Pauli

La porte quantique correspondant à la matrice σₓ peut-être considérée comme l’équivalent de la porte classique NOT.

Matrice X de Pauli

Avec la matrice identité ℑ, les matrices de Pauli forment les composantes d'une des bases de l'espace vectoriel réel associé aux matrices hermitiennes complexes.

Comme nous l'avions déjà vu dans le billet consacré au sujet, cette base permet de délimiter l'ensemble des quaternions.

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