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  • JC Duval

Quaternions

Ce qui compte ne peut pas toujours être compté, et ce qui peut être compté ne compte pas forcément. Albert Einstein

 

J'ai déjà griffonné sur ces drôles de nombres que sont les complexes en rappelant qu'ils sont constitués d'une partie réelle et d'une partie imaginaire, partie assortie d'une unité notée i.

a + bi

avec = -1


Les quaternions sont quant à eux des nombres hypercomplexes également composés d'une partie réelle et d'une partie imaginaire, mais avec 3 unités notées i, j, k. Cette partie imaginaire peut donc se dessiner et se déployer dans un espace à 3 dimensions.

a + bi + cj + dk

avec = = = ijk = -1

Un quaternion est caractérisé par 4 nombres réels a,b,c,d. (1 scalaire et 3 composantes complexes)

 

La table de multiplication des vecteurs de base

 

Les 3 axes imaginaires i, j, k d'un quaternion

 

L'ensemble des quaternions engloble l'ensemble des nombres complexes.

L'ensemble des quaternions noté H

 

Cas d'usage


Les quaternions découverts au milieu du 19eme siècle par le mathématicien irlandais William Hamilton, trouvent des applications aussi bien dans le domaine de la physique classique que dans celui de la physique quantique.

La formule de Hamilton i² = j² = k² = ijk = -1 gravée sur un pont de Dublin


Les quaternions sont utilisés dans le monde du graphisme, de l'animation, de l'informatique ou bien encore de la robotique. Ils sont notamment présents dans les simulateurs de vol.

Leur principal avantage par rapport à d'autres représentations comme celle d'Euler, est de simplifier la rotation des objets dans l'espace.

Rotation d'un champ sur un ruban


Les graphistes ont très vite vu l'intérêt des quaternions en tant qu'opérateurs de rotation. Ils les utilisent dans la programmation de jeux vidéos et dans l'animation comme la simulation des mouvements d'une caméra.

Tomb Raider


Au lieu de faire pivoter un objet via des rotations successives, les quaternions permettent de le faire tourner autour d'un axe arbitraire suivant un angle quelconque.

Pour effectuer les rotations, il est plus simple d'utiliser les quaternions que les calculs matriciels.

Il est ainsi possible de modéliser la trajectoire d'un objet au travers d'une fonction mathématique plongée dans le corps des quaternions. Au final, les rotations sont plus douces et plus réalistes.

Les différents degrés de liberté des quaternions au sein de l'espace dans lequel ils peuvent se mouvoir.


☞ Je vous donne un lien vers un outil de simulation qui permet de visualiser comment les quaternions sont utilisés dans les rotations en 3D.


Plan complexe

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