• JC Duval

Observables compatibles

"La seule façon de découvrir les limites du possible, c'est de s'aventurer un peu au-delà, dans l'impossible."

Arthur C. Clarke - Auteur SF

 

Ce billet fait suite à celui dans lequel j'ai présenté ce qu'était un opérateur hermitique.


Nous avions mis en évidence que pour une grandeur physique, il existe un type d'opérateur qui permet de référencer les différents états à valeur bien définie applicables à un système physique. Dit autrement, cet opérateur est un objet mathématique qui permet de décrire une observable, étant entendu qu'une observable peut être assimilée à une grandeur physique pertinente pour le système. Ainsi, les valeurs propres de chacun des états à valeur bien définie sont les résultats possibles des mesures de l'observable. Par ex, un fermion a deux états de spin distincts avec les valeurs propres +1/2 et -1/2.

Nous avions également vu que la valeur apparente d'une grandeur est arrêtée lors de la mesure et qu'elle correspond à la valeur de l'état propre ayant été retenu.


Je voudrais cependant compléter le sujet en abordant la compatibilité des observables.🧐

 

Mesure non discriminante


La MQ n'interdit pas à ce que certains états propres de l'observable prennent la même valeur. Comme nous l'avons déjà dit, lors de la mesure l'observateur va récupérer une valeur propre, mais si cette valeur est applicable à plusieurs états on dit alors qu'elle est dégénérée.

La mesure va donc retourner une valeur qui si elle est dégénérée va forcer le système à se positionner dans un état combiné et les états propres de cette combinaison auront tous la même valeur, valeur équivalente à celle retournée par la mesure. Si la valeur est dégénérée, la mesure ne permet pas de discriminer l'état du système.


Prenons un exemple …


Nous allons utiliser la grandeur O. Pour cette observable, l'opérateur Ô permet de dresser la liste des états avec les valeurs propres applicables au système, dans notre exemple les états propres suivants {|O1⟩,|O2⟩,|O3⟩,|O4⟩}


• Ô|O1⟩ = O1 |O1

Ô|O2⟩ = O2 |O2

Ô|O3⟩ = O2 |O3

• Ô|O4⟩ = O4 |O4

On voit que les 2 états |O2 et |O3 ont la même valeur O2. O2 est dégénérée.


De par le principe de combinaison, avant la mesure de O, tout état du système peut s'écrire sous la forme

|Ψ⟩ = α1|O1+ α2|O2+ α3|O3+ α4|O4


La mesure de la grandeur O ne peut donner comme résultat qu’une des valeurs propres de l’observable Ô.


Après la mesure de O, on peut à juste titre, se poser 2 questions >>>

1. Quel est l'état du système si la valeur mesurée est O2?

Réponse |Ψ⟩ = α2|O2⟩ + α3|O3

>> On voit que la mesure retourne un état combiné.

2. Quelle est la probabilité de récupérer la valeur O2?

Réponse P(O2) = |O2|Ψ|² + |O3|Ψ|² = 2|² + 3|² (sous réserve que les états soient normés)

 

Mesure d'une autre grandeur


Nous venons de constater qu'une seule grandeur physique n'est pas toujours suffisante pour discriminer les états d'un système. On peut donc utiliser et mesurer une - voire plusieurs - autre grandeur qui devra être 'compatible' - d'où le propos de ce billet - afin de lever toute ambiguïté sur l'état du système.*


Prenons encore un exemple …


En complément de la grandeur O, nous allons prendre la grandeur compatible E. Pour cette observable, l'opérateur Ê permet de dresser la liste des états avec les valeurs propres applicables au système, dans notre exemple les états propres suivants {|E1⟩,|O2⟩,|O3⟩,|E4⟩}


• Ê|E1⟩ = E1 |E1

Ê|O2⟩ = E2 |O2

Ê|O3⟩ = E3 |O3

• Ê|E4⟩ = E4 |E4


Les 2 états |O2 et |O3 sont communs aux grandeurs O et E, et on voit que pour la grandeur E, ils ont des valeurs distinctes E2 et E3.

De par le principe de combinaison, avant la mesure de E, tout état du système peut s'écrire sous la forme

|Ψ⟩ = ß1|E1+ ß2|O2+ ß3|O3+ ß4|E4


Pour différencier les états |O2 et |O3⟩, on peut donc compléter la mesure de O avec celle de E.


• Ô|O2 Ê|O2 O2 |O2 E2 |O2

• Ô|O3 Ê|O3 O2 |O3 E3 |O3


Questions, après la mesure de O et de E >>>

1. Quel est l'état du système si les valeurs mesurées sont O2 et E2?

Réponse |Ψ⟩ = (α2.ß2)|O2

2. Quelle est la probabilité de récupérer les valeurs O2 et E2?

Réponse P(O2).P(E2) = |O¹2|Ψ⟩.⟨O²2|Ψ|² = 2.ß2|² (sous réserve que les états soient normés) **

 

* Les observables associées à ces grandeurs doivent former un ECOC (Ensemble Complet d’Observables qui Commutent).

Pour cela, il faut que :

- l'ensemble des observables permette de décrire l'état du système de manière unique et complète au travers d'une combinaison commune d'états à valeur bien définie.

- les observables commutent 2 à 2 afin que l'ordre des mesures n'ait pas d'incidence. Une mesure ne doit pas venir perturber la ou les autres.

** Les bras O¹2| et O²2| ont un indice qui donne le niveau de dégénérescence permettant de différencier l'observable.

 

Compatibilité des observables


Deux observables sont compatibles s'il est possible de mesurer simultanément et aussi précisément que possible l'une et l'autre des deux grandeurs.

Dans le cas contraire, les observables sont dites incompatibles, comme la vitesse et la position d'une particule. Cet exemple illustre d'ailleurs souvent le principe d'indétermination énoncé par Heisenberg.

Pour discriminer les états à valeur dégénérée, on ne peut compléter la mesure de l'observable qu'avec celles d'observables compatibles.

Vitesse et position sont des observables non compatibles

 

Opérateur hermitique

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