• JC Duval

Tout est il relatif ? L'espace

Episode 1

Un bon référentiel, c'est une bonne paire de lunettes ...

 

Pour bien appréhender l'espace, le concept de référentiel est essentiel.


Ce petit billet rappelle ce qu'est un référentiel, comment s'y repérer, pour enfin voir ce que veut dire changer de repère et de référentiel. Nous parlerons également des référentiels galiléens, en abordant la notion de gravité même si on sort un peu du cadre qui nous intéresse. Nous resterons dans l'espace et ne ferons pas intervenir le temps, ce sera pour plus tard ... En attendant, accrochez vous ...

 

Vous avez dit ... référentiel


Un référentiel se contruit à partir d'un corps de référence. Ce corps forme une trame solide et indéformable.

En physique, un référentiel est un ensemble de points fixes, sous entendu fixes les uns par rapport aux autres, relativement au corps de référence et à partir desquels un observateur décide de repérer la position ou le mouvement des objets.

Grâce à lui, la notion d'espace prend corps.

Imaginons que vous flottiez seul dans l'espace intergalactique. Si vous n'avez aucun corps de référence sur lequel vous appuyer, aucune étoile comme point de repère, essayer de définir votre position n'aura aucun sens. Vous ne serez ni en mesure de matérialiser l'espace dans lequel vous êtes, ni en mesure d'identifier vos mouvements. Il vous sera impossible de définir une quelconque distance ou quelconque orientation. Il va sans dire que sans référentiel, vous êtes aveugle.

En définitive, il faut considérer l'espace comme une construction spatiale, une structure géométrique qui s'appuie sur un référentiel délibérément choisi qui vous permettra de recouvrer la vue.

Mais il ne faut pas oublier que tout objet se meut indépendamment du référentiel dans lequel on se place. De manière objective, il "est". C'est sa définition même. Rappelez vous quand vous étiez dans l'espace intergalactique vous étiez à la fois sujet et objet, et être les deux à la fois nous gêne pour appréhender l'espace. Nous sommes de bien piètres observateurs enfermés dans nos petites enveloppes charnelles.

Pour appréhender le monde et c'est ce qu'il faut bien comprendre, on ne peut que se placer dans un référentiel afin de voir comment il se comporte. Un référentiel est un prisme derrière lequel nous nous postons et par la force des choses devant lequel nous sommes également installés.


A ce titre, nous avons le choix du référentiel :

- Le référentiel terrestre qui est le référentiel le plus familier, et qui est centré sur un point de la surface du globe. Il est privilégié pour étudier le mouvement des objets sur terre. Un homme «immobile» sur terre est fixe dans le référentiel terrestre.

- Le référentiel géocentrique qui est le référentiel centré sur la Terre. Il est privilégié pour étudier le mouvement des satellites. Dans ce référentiel, la lune tourne autour de la terre en 28 jours.

- Le référentiel de Kepler ou référentiel héliocentrique qui est le référentiel centré sur le Soleil, qui est privilégié pour étudier le mouvement des planètes. Dans ce référentiel, la Terre tourne autour du soleil en 1 an et Saturne en 30 ans.

- Le référentiel galactique qui est le référentiel centré sur notre galaxie.

Il est privilégié pour étudier le mouvement d'une étoile de la galaxie, comme le soleil. Dans ce référentiel, le système solaire tourne autour de la galaxie en 200 millions d'années.

- Et même si ce n'est pas le plus utilisé, le référentiel de ma moto qui est le référentiel centré sur son moteur flat-twin. Il permet d'étudier le mouvement des objets qui m'entourent quand je suis motard. Si je me place dans ce référentiel (et que je roule trop vite), un homme "immobile" sur terre se déplace à 200 km/h.

- Je peux même me choisir comme référentiel. Dans ce cas, je parlerai de mon référentiel 'propre'. Ce référentiel est celui dans lequel je suis "immobile".

Les référentiels propres à Mario et Yoshi. Nos deux champions sont immobiles dans leur fenêtre.

 

Se repérer dans un référentiel


C'est une évidence mais, c'est bon de le rappeler, pour repérer un objet au sein d'un référentiel on va être obligé de définir un repère. Le choix d'un repère est libre. Pour cela on définit une origine et les axes suivant lesquels on va s'orienter.

Comme l'espace est en 3D, on utilise 3 axes. En règle générale, on choisit les trois orientations - horizontale, verticale et transversale - avant de se fixer un point d'origine. Il est ainsi possible de définir les coordonnées de n'importe quel point du référentiel terrestre.

A la maison, on peut prendre un des coins du salon comme origine, avec comme orientation le sol et les murs. On peut ainsi définir un système pour repérer le livre placé sur la table du salon : 5 pas à gauche, 2 pas en avant, 2 coudées en hauteur, cela à partir du coin du salon.

Tout système géodésique permet aussi d'exprimer les positions au voisinage de la Terre. Pour le positionnement GPS, le système WGS 84 est le plus utilisé au monde.

World-Geodetic-System-1984

 

Changer de repère


Nous avons dit que le choix du repère est arbitraire. Si, au sein d'un même référentiel, vous avez des repères différents, un point de l'espace aura tout simplement des coordonnées différentes. Les coordonnées sont relatives au repère.

Imaginons que vous montiez dans un wagon par l'arrière et que vous repériez votre place comme étant à l'étage, au 1er rang et 2eme siège à droite, si maintenant vous montez dans ce même wagon par l'avant votre place sera à l'étage, au dernier rang et 2eme siège à gauche. Vous avez simplement effectué une translation et une rotation de votre repère.

Mais bien que vous repériez votre place de 2 façons différentes - ce en fonction de la manière dont vous y êtes arrivé - vous désignez bien le même siège. Comme déjà dit, l'existence d'un objet est indépendante du référentiel choisi, mais également du repère.


Invariance de la norme

Le titre de ce billet pose la question de savoir si tout est relatif. Eh bien non ! Il existe bel et bien une chose qui n'a rien de relatif, tout du moins au repère que l'on choisit dans un référentiel.

En géométrie euclidienne, la distance séparant deux points ne dépend pas du repère. Cette distance mesure l'espace séparant les deux points. Elle est aussi appelée norme euclidienne si on se projette dans un espace vectoriel muni d'un produit scalaire et elle peut être calculée à l'aide du fameux théorème de Pythagore qu'on nous a tant et tant rabâché pendant nos années collège et lycée.

La norme d'un vecteur correspond à la longueur d'un bipoint représentatif.

Mais rien de surprenant qu'au sein d'un référentiel, la distance séparant 2 points soit et reste la même, quel que soit le repère choisi. D'une part, même si l'espace est ce qu'il est, on considère qu'il est métrique et conserve une apparence euclidienne, tout du moins à notre échelle - la métrique euclidienne de cet espace définissant la distance entre deux points comme la longueur de la droite qui les relie - et d'autre part, par définition, un référentiel est un ensemble de points fixes entre eux, ce qui garantit qu'elle ne varie pas dans le temps. Dans le wagon de tout à l'heure, quelle que soit la façon dont vous êtes monté et quelle que soit la façon dont je suis monté, la distance qui sépare nos 2 sièges restera la même.


Dans un même référentiel, les valeurs d'autres grandeurs physiques héritent même de cette invariance :

- la vitesse qui est un taux de variation lié à distance séparant 2 points (v=dr/dt*), reste la même.

- l'accélération qui est un taux de variation lié à l'écart séparant 2 vitesses (a=dv/dt*), reste la même.

- la force qui est proportionnelle à l'accélération (F=ma), reste la même

- le travail élémentaire qui est proportionnel à la force (W=F.dr), reste également le même.

- etc ...

L'invariance au repère se communique à toutes les valeurs des grandeurs qui s'appuient sur la distance séparant 2 points. Toutes ces grandeurs gardent leur valeur quel que soit le repère choisi.


* Avec le mouvement surgit la notion de temps. On postule que dans un même référentiel le temps est universel et que les durées sont équivalentes. Ce qui est vrai.

 

Changer de référentiel


Nous avons dit qu'un référentiel était un prisme. Dès lors, si l'on change de référentiel notre perception du monde va obligatoirement changer ...

C'est une question de point de vue, un objet sera tout simplement "perçu" différemment en fonction du référentiel choisi.


Si vous prenez le train pour aller de Paris à Lyon, vous allez monter dans le wagon à Paris et descendre de ce même wagon à Lyon. Vus du train, vous et la montre que vous avez au poignet n'auront pas bougé, alors que vus de la gare vous et votre montre auront parcouru 400 km. 

La distance est bien relative au référentiel.


Lors d'un changement de référentiel, la distance entre deux points n'étant pas conservée, il n'est pas étonnant que les valeurs des grandeurs physiques qui s'appuient sur les distances ne le soient pas non plus. Pour rejoindre Lyon, dans le référentiel du train votre vitesse est nulle, alors que vue de la gare votre vitesse est de plus de 300 km/h.


Il existe cependant une exception, une classe de référentiels particuliers, les référentiels galiléens, au sein desquels l'accélération et toutes les grandeurs dérivées (la force, le travail , ...) sont conservées, mais nous aborderons ce point quand nous étudierons ce type de référentiels.


Pour finir, le choix du référentiel se fait donc en fonction de la manière dont on cherche à appréhender le 'monde'. On choisit le référentiel qui s’adapte le mieux à la situation - et en général on prend un référentiel galiléen car c'est le type de référentiel qui se prête le mieux à la représentation du monde - mais il faut bien avoir en tête que ce choix est arbitraire.

Le monde que l'on observe est relatif au référentiel choisi. Si on change de référentiel, on change de lunettes ... et tant qu'à faire autant prendre une paire adaptée à sa vue.

Source : Les idées froides


Invariance des lois de la physique

Par contre, si le choix du référentiel change bien les valeurs des grandeurs physiques, il ne change pas les lois qui régissent le monde. Il ne peut d'ailleurs pas en être autrement, le choix du référentiel étant arbitraire, les lois qui gouvernent le monde ne peuvent pas dépendre du choix que l'on fait pour l'appréhender.

Quels que soient le lieu et l'orientation, les lois de la physique sont les mêmes. C'est ce que l'on constate tous les jours et c'est heureux sinon le monde serait bougrement aventureux.

Si vous êtes au wagon-restaurant et que vous prenez un café, il se passera la même chose que si vous aviez pris votre café dans le hall de la gare.

L'homogénéité de l'espace induit une invariance par translation et garantit la conservation de l'impulsion. L'isotropie de l'espace induit quant à elle une invariance par rotation et garantit la conservation du moment cinétique. Les lois du 'monde' sont ainsi faites.

 

Référentiel galiléen


Ces propriétés permettent de définir un type de référentiel particulier que l'on appelle galiléen ou encore inertiel.


Dans un référentiel galiléen - hommage à Galilée - on décide que le principe d'inertie tel que défini par Newton est vérifié, c'est-à-dire qu'en son sein un corps sur lequel on n'exerce aucune force reste en mouvement rectiligne uniforme ou reste au repos, le repos étant un cas particulier. Un corps ayant un mouvement rectiligne uniforme a une vitesse qui, bien que n’étant pas la même, reste constante dans tous les référentiels galiléens, celui dans lequel il a une vitesse nulle, étant désigné comme son référentiel propre.


Dans un référentiel galiléen, le principe d'isotropie oblige un corps au repos à rester au repos. En effet, il n'y a pas de raison pour qu'un corps au repos bouge dans une direction particulière. Pour la même raison, ce principe associé au principe d'homogénéité oblige un corps ayant un mouvement rectiligne uniforme à garder ce même mouvement.


Curieusement, on peut se demander pourquoi définir ce type de référentiel. On a dit que le choix d'un référentiel est arbitraire, cela pourrait laisser croire que rien ne justifie d'en différencier certains. Tous les référentiels devraient être équivalents.

Mais un principe profond de la nature exige l'omniprésence des référentiels inertiels. Comme nous l'avons dit, dans ce type de référentiel si on ne fait rien il ne se passe rien ou plutôt, il se passe quelque chose de différent à ce qui se passerait si on faisait quelque chose. On peut résumer en disant que dans un référentiel inertiel, il faut appliquer une force sur un objet pour qu'il bouge, il faut lui donner une impulsion.

Dans un référentiel non inertiel ce n'est pas le cas, prenez le sac posé sur le siège de votre voiture, si vous pilez il va se trouver projeté vers l'avant. Vous n'êtes pas intervenu directement sur le sac mais il a bougé.

Si vous n'aviez pas actionné le frein, le sac serait resté bien tranquillement sur le siège, et s'il s'était mis à bouger sans que vous ayez appuyé sur la pédale de frein vous auriez certainement été très surpris.

Si les objets bougeaient tout seul, on ne pourrait pas énoncer les lois de la mécanique, d'ailleurs Newton disait « Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice ». Si ce n'était pas le cas, le monde serait chaotique et invivable.

«La force inhérente à la matière (vis insita) est le pouvoir qu'elle a de résister. C’est par cette force que tout corps persévère de lui-même dans son état actuel de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite.» Isaac Newton

Autre particularité, qui parait être une évidence, tous les référentiels galiléens sont rigoureusement équivalents. Toute expérience est analogue quel que soit le référentiel galiléen dans lequel on l'effectue. En contrepartie, il n'existe pas de référentiel absolu et le repos absolu n’existe pas.

Tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres.

A propos de ces référentiels, Galilée disait : 'Le mouvement - sous entendu rectiligne uniforme - est comme rien'


Comme nous le verrons plus tard, la théorie de la relativité restreinte ne s'applique qu'aux référentiels galiléens. La relativité dite restreinte établit des formules qui permettent de passer d'un référentiel galiléen à un autre. Cette théorie ne prend pas en compte les effets de l'accélération d’un référentiel - qui par définition n'est pas galiléen - et elle n’arrivera donc jamais à rendre compte de la gravitation. Il faudra attendre 1915 et la théorie de la relativité générale pour résoudre ce problème.

Mais contrairement à ce que l'on peut encore trop souvent entendre dire, au sein d'un référentiel galiléen, la relativité restreinte permet d'étudier tous les mouvements d'un objet, qu'ils soient accélérés ou non.

Lorsque nous avons abordé le sujet du changement de référentiel, nous avons dit que l'accélération d'un corps ne variait pas entre référentiels galiléens. Et en effet, comme tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres, la vitesse relative entre ces référentiels reste constante, et donc si on change de référentiel galiléen la vitesse d'un corps changera mais pas son accélération.

Dit autrement, lors d'un changement de référentiel, si la différence de vitesse d'un corps reste constante, la différence d'accélération de ce même corps est nulle.

En langage mathématique, la dérivée d'une fonction constante est nulle.

 

Référentiels galiléens et gravité


Il est compliqué de définir un référentiel galiléen. Il reste avant tout théorique. Le défi vient du fait qu’il est difficile voire impossible de trouver un espace exempt de tout champ de force et à cet égard la gravitation pose bel et bien un problème. Eh oui, l'espace contient de la matière.

Galilée imaginait une région située au delà de tout champ gravitationnel, à supposer qu’une telle zone puisse exister, Newton quant à lui - bien qu'il soit l'auteur de la loi de l'attraction universelle - faisait abstraction de la gravitation pour énoncer les lois de la nature, Einstein enfin se risquait à se positionner directement dans un champ de gravitation. En 1908, ce dernier eut une idée qu’il qualifiera plus tard comme étant la plus heureuse de sa vie. Il fit une expérience de pensée ...

Vous êtes dans un ascenseur au 50eme étage de la tour Montparnasse, le câble se rompt ... vous vous retrouvez en chute libre ... certainement sous le coup de l’émotion, vous lâchez alors votre montre à gousset et le ticket gagnant du grand tirage du loto. A n’en pas douter, c’est votre jour de chance.

Pour un observateur qui serait situé sur le parvis de la tour - de façon similaire à l’ascenseur - vous, montre et ticket tombez de la même manière ... et ce, conformément à la loi de la chute des corps. Par contre, pour vous qui êtes dans l’ascenseur, les 2 objets restent à l’endroit où vous les avez lâchés. La distance qui les sépare de vous ne varie pas. A l’intérieur de l’ascenseur, tout se passe donc comme si le champ de gravitation n’existait pas. Vous êtes en impesanteur, vous n’avez plus de poids. Maintenant, si vous poussez votre montre ou votre ticket, vous les verrez se déplacer avec un mouvement rectiligne uniforme alors que vu par un observateur extérieur ils auront une trajectoire parabolique.

Vol parabolique à bord d’un Airbus.

Vol parabolique à bord d’un Airbus


Dans le référentiel de l’ascenseur, le mouvement est purement inertiel, alors que dans le référentiel de la personne extérieure, le mouvement est celui de la chute d’un corps dans un champ de gravitation. Ce qui est inertiel pour l’un, est gravitationnel pour l’autre. C'est le principe d'équivalence formulé par Einstein, qui dit qu'être en chute libre dans un champ de gravitation est équivalent à être immobile dans un référentiel inertiel.

Un référentiel comme l’ascenseur en chute libre est galiléen, même s'il reste limité à l’espace de la cabine - tout référentiel se devant théoriquement d'être illimité. 

Pour preuve ... le sol s'approche en accélérant dangereusement.

Le plus dur c’est pas la chute, c’est l'atterrissage

Le plus dur c’est pas la chute, c’est l'atterrissage

 

Source : Les idées froides

 

Quelques référentiels galiléens ou presque 


- Référentiel terrestre : La Terre tournant sur elle-même, le référentiel terrestre n’est pas rigoureusement galiléen. Mais, pour des expériences n’excédant pas quelques minutes, les effets de la rotation terrestre peuvent être négligés. Si on laisse de coté la gravitation et les frottements, le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour des temps courts.

- Référentiel héliocentrique : Le Soleil et les étoiles utilisées pour définir le repère ne sont pas immobiles, ils tournent autour du centre de la galaxie avec une vitesse voisine de 200 km/s. Donc, rigoureusement, le référentiel héliocentrique n’est pas parfaitement galiléen. Mais, comme le temps requis pour faire un tour complet de la galaxie est long - 200 millions d’années - on peut considérer ce référentiel comme galiléen.


Référentiels non-galiléens 


Dans un référentiel non galiléen, un corps initialement au repos n'y reste pas obligatoirement.

On peut donc observer des forces fictives ou forces inertielles ne résultant pas d’une interaction fondamentale. Ce sont des pseudo-forces.


- La rotation de la Terre sur elle-même donne lieu à une pseudo-force bien connue en météorologie, du nom de «force» de Coriolis. Elle est responsable du sens de rotation des masses d’air (dépressions et anticyclones).

- Dans un véhicule, une accélération ou une décélération donne aussi lieu à une pseudo-force appelée «force» d’inertie, qui projette le passager soit vers l’arrière soit vers l’avant. 

- Dans un référentiel lié à un système tournant rapidement sur lui-même, il apparaît également une pseudo-force appelée «force» centrifuge agissant sur les objets de manière à tendre à les éloigner du centre de rotation.


Le référentiel de ma moto, avec ses accélérations, ses freinages et ses virages n'est donc pas du tout galiléen.

 

La "force" centrifuge. (ScienceClic)

La "force" de Coriolis. (ScienceClic)

 

Le temps


Voilà un nouvel élément qui va s'inviter dans la danse et va nous permettre de mesurer chronologiquement l'évolution d'un système.


Ce sera le sujet de notre prochain billet.


En relativité restreinte, l'espace géométrique est plat

La fin de la vidéo aborde les prémices de la relativité générale avec la courbure géométrique de l'espace. J'ai laissé ...

Source : Les idées froides

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