• JC Duval

Tout est-il relatif ? L'espace-temps

Episode 3

«La relativité du temps et de l’espace nous fait toucher du doigt à quel point la physique contemporaine nous force à aller loin dans la renonciation au cadre rassurant des “données du bon sens” et des notions familières.»

B. d’Espagnat

 

Différents acteurs

  • Einstein

Nous avions terminé le billet précédent en disant qu'Einstein s'était mis en quête pour trouver une nouvelle construction qui lierait le temps et l'espace afin de s'affranchir de leur caractère relatif. Les lois de la nature sont absolues et ne peuvent pas dépendre de la manière dont on regarde le monde. Mais ce n'est pas tout à fait comme cela que se sont passées les choses ...


Au début du 20eme siècle avec le développement du chemin de fer, on a très vite cherché à harmoniser les horaires des trains.

• Question n°1 : Comment synchroniser les horloges des gares ?

• Question n°2 : Est-il possible, et si oui comment, de synchroniser les horloges des gares avec la montre des passagers qui prennent ces trains ? Et là, c'est la question qui "tue".


A cette époque, Einstein travaillait au bureau de la propriété intellectuelle de Berne et c'est de là que sont nées ses réflexions sur la relativité restreinte. Pour synchroniser les horloges, il s'est très vite tourné vers une utilisation des ondes électromagnétiques.

Pour effectuer une synchronisation, tout du moins pour les horloges des gares, il suffit simplement de faire faire à l'onde un aller et retour entre les deux gares.

Il s'avère que la synchronisation entre la montre d'un passager et une gare est quant à elle physiquement impossible, car leurs référentiels "propres" ne sont pas coïncidents.


Les deux postulats auxquels Einstein est arrivé sont les suivants :

• Postulat n°1 : Les lois de la physique ont la même forme dans tous les référentiels galiléens.

• Postulat n°2 : La lumière dans le vide se propage à la même vitesse c dans tous les référentiels galiléens.


- Pour le 1er postulat, et comme nous l'avons vu dans les billets précédents, toute expérience est analogue quel que soit le référentiel galiléen dans lequel elle a lieu.

Dans le cas de référentiels galiléens, si une personne se trouve dans un train qui roule à vitesse constante et une autre sur le quai, chacune pourra dire que c'est l'autre qui est en mouvement constant et cela indistinctement. Les deux référentiels sont indiscernables, ce qui veut dire que dans le train comme sur le quai, une même expérience donnera les mêmes résultats.

Par contre, dans le cas de référentiels non galiléens, les référentiels ne sont plus indiscernables. Si le train se met à accélérer, bien que les deux individus puissent dire que c'est l'autre qui accélère, seul celui qui est dans le train ressentira l'effet de cette accélération …

- Pour le 2eme postulat, alors là c'est plus surprenant … Quel rapport a la lumière avec l'espace et le temps ? La lumière est d'abord un phénomène électromagnétique … et ensuite ce postulat entre en conflit avec la loi habituelle d’additivité des vitesses. En fait, Einstein généralise à tous les référentiels inertiels une loi déjà exploitée par Maxwell dans ses équations de l’électromagnétisme.

  • Maxwell et Lorentz

Au 19me siècle, Maxwell a de manière magistrale, assemblé électricité et magnétisme dans des équations qui portent son nom.

Lorentz a ensuite constaté que les lois de l'électromagnétisme variaient d'un référentiel inertiel à un autre. Pour les rendre invariantes, il a été obligé de postuler que le temps dépend du référentiel dans lequel on se place, contrairement à ce qui avait été avancé par Newton pour qui le temps était absolu.

Lorentz a construit une transformation qui porte son nom et qui donne au temps son caractère relatif, sans pour autant réaliser toute la portée de sa découverte.

  • Poincaré et Minkowski

Henri Poincaré introduisit dès 1905 la notion nouvelle d'espace-temps, une entité à 4 dimensions, dans un cadre qui deviendra la relativité restreinte élaborée par Einstein. Cette notion sera reprise par Hermann Minkowski dans ce que l'on appelle aujourd'hui l'espace de Minkowski.

Cette nouvelle approche permet de s'affranchir du caractère relatif de notre représentation du monde. Un nouveau concept vient de naitre ...

 

L'espace-temps


L'espace-temps est une construction géométrique unique qui englobe toute l'histoire du monde.



Tous les événements liés à mon histoire, à votre histoire, ainsi qu'à l'histoire de tous les êtres et objets du monde, peuvent y être consignés. L'espace-temps est immanent. Cependant, on voit très rapidement que cette notion d'univers bloc réouvre le débat sur le choix et le libre arbitre liés à notre avenir.

 

L'espace de Minkowski


Nous allons commencer par Minkowski, même si ses travaux ont abouti après ceux d'Einstein.


Minkowski propose une représentation du monde avec tous ses événements, qu'ils soient passés, présents ou futurs. Minkowski place chacun d'entre nous - moi comme vous - au centre d'une représentation qui lui est propre. Cela nous offre la possibilité de nous détacher de l'espace et du temps, et nous permet de poser un regard extérieur sur l'observateur que nous sommes.


Représentation 3D de l'espace de Minkowski.

Espace en 2D et temps.


Sur ce schéma en forme de sablier, le temps est représenté par un axe vertical et l'espace est comprimé sur un plan. Le continuum d'espace-temps est ainsi saucissonné en "tranches d'espace".

L'univers se déploie dans un continuum d'espace-temps.


• Moi

L'observateur que je suis, est situé sur le plan-espace de mon présent, au sommet de 2 cônes, à un point nommé mon "ici-maintenant".

Ce point correspond à l'événement présent de mon histoire, mon histoire étant matérialisée par une ligne appelée "ligne d'univers" qui dessine mon déplacement dans l'espace-temps.


• Mes cônes de lumière

Comme leurs noms l'indiquent, ces cônes ont un lien direct avec la lumière.

Représentation 2D de l'espace de Minkowski.


Dans l'espace de Minkowski, les cônes sont délimités par les lignes d'univers des photons. La pente des cônes de lumière est de 45°.

Quel que soit le référentiel, en un an la lumière parcours une distance d'une année-lumière.

Les lignes d’univers des photons ont la même pente dans les 2 référentiels.

La vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels.


• Mon image

La surface du cône du futur représente sous forme de cercles, la trajectoire de l'onde concentrique véhiculant mon image. C'est la projection de mon "ici-maintenant" dans le futur.

Un observateur placé sur ce cône, me verra "là bas et plus tard" tel que je suis dans mon "ici-maintenant" tout comme dans son "ici-maintenant" il me voit tel que j'étais "là bas et plus tôt".

Je me positionne comme acteur. Je suis un objet du monde.

L'image de 'mon ici-maintenant' diffusée dans le futur.


• L'image du monde

Inversement, la surface du cône du passé représente la trajectoire des photons véhiculant l'image du monde. L'image du monde est projetée sur mon plan de simultanéité.

Je vois un objet dans mon "ici-maintenant" tel qu'il était "là bas et plus tôt", tout comme que je le verrai "là bas et plus tard" tel qu'il est dans son "ici-maintenant".

Je me positionne comme spectateur. Je suis un sujet du monde.

L'univers observable est une boule qui correspond à une image du monde centrée sur son observateur.


La surface du cône de lumière du passé permet aux astronomes d'aller explorer le passé de l'univers. A chaque plan-espace correspond un cercle centré sur l'observateur, cercle d'autant plus large que le plan est éloigné. Ce qui n'est plus, reste malgré tout perceptible. Si on se transpose dans un espace à 3 dimensions les cercles deviennent des sphères. Au final, cette boule constitue une image du monde, une image perçue par et centrée sur, chacun d'entre nous. A chacun sa boule, cette boule étant assimilable à un "univers observable".


• Passé, futur et ailleurs

2 évènements sont causalement reliés quand ils peuvent interagir l'un sur l'autre et la distinction avant-après n'a de sens que pour des événements qui peuvent établir une connexion entre eux. Dans ce cas, l'un succède à l'autre et l'autre précède l'un. Un observateur ne peut relier que des évènements qui se trouvent à l'intérieur de ses cônes de lumière. Il ne peut pas interagir avec les événements qui se trouvent dans son ailleurs et ne peut donc pas les ordonner, mais cela n'entraîne aucun paradoxe puisque vu de l'observateur ils ne sont pas reliés causalement.


• Mon passé

Les événements situés à l'intérieur du cône de mon passé sont causalement reliés à mon "ici-maintenant".

Ces événements peuvent m'influencer.


• Mon futur

Mon "ici-maintenant" est causalement relié aux événements situés à l'intérieur du cône de mon futur. En théorie, je suis en mesure de rejoindre n'importe quel événement situé dans ce cône.


• Ma ligne d'univers

Vus de mon référentiel "propre", les événements situés au même endroit que mon "ici-maintenant" sont sur ma ligne d'univers et font partis de mon histoire. La distance qui sépare les événements de ma ligne d'univers n'est que temporelle. Par rapport à moi, je ne me déplace pas dans l'espace.


• Mon ailleurs

Les points situés à l'extérieur de mes cônes de lumière font partis de mon ailleurs. Je suis dans l'incapacité de les rejoindre.

Mon "ici-maintenant" n'est pas relié causalement aux événements situés dans mon ailleurs.


• Mon temps "propre"

Chacun de nous possède sa propre échelle de temps matérialisée par sa ligne d'univers.

Chaque seconde, sur ma ligne je me déplace d'une seconde-lumière, tout comme vous qui sur votre ligne d'univers, vous déplacez toutes les secondes d'une seconde-lumière dans le [même] espace temps.


• L'espace-temps

Cette multiplicité des temps, jointe à l'absence d'un système de référence absolu, a conduit Minkowski à conclure qu'on ne peut plus considérer l'espace et le temps comme indépendants.

"Seule une sorte d'union des deux peut conserver une réalité indépendante."

Espace et temps sont liés, et même si au sein d'un référentiel nous avons avant tout conscience de l'existence d'une entité que l'on appelle Espace et d'une entité que l'on appelle Temps, il faut désormais consentir à l'existence d'une nouvelle entité que l'on appellera Espace-Temps.

 

Relativité restreinte

"La relativité nous enseigne les liens entre différentes descriptions d'une même et unique réalité." (Einstein)

La relativité restreinte élaborée par Einstein est une des grandes conquêtes de la physique. Il est le premier à proposer une théorie claire et précise permettant d'unifier les différentes observations tout en prédisant de nouveaux effets alors inconnus. On peut citer parmi les plus célèbres et immédiats, l'impossibilité d'interactions instantanées à distance, le théorème d'addition des vitesses, la contraction des longueurs et la dilatation du temps, l'équivalence masse-énergie qui pour un corps au repos est traduite par la célèbre formule E=mc², l'impossibilité pour tout corps matériel d'atteindre ou dépasser une vitesse limite qui s'avère être celle de la lumière dans le vide.


• Intervalle d'espace-temps

L'espace-temps se manifeste au travers d'une grandeur physique que l'on appelle un intervalle d'espace-temps correspondant à la distance spatio-temporelle séparant deux événements.

Un intervalle permet de différencier et distinguer deux événements.


> Invariance de la pseudo-norme <


Lorsque l'on prend l'espace et le temps de manière séparée, et nous l'avons vu dans les deux billets précédents, les distances spatiales ou longueurs et les distances temporelles ou durées ne sont pas invariantes. Lorsque l'on change de référentiel, elles ne sont plus perçues de la même manière. Elles sont relatives au référentiel.

Eh bien, la relativité nous révèle que la distance spatio-temporelle ou intervalle entre 2 événements est invariant, sous-entendu quel que soit le référentiel.

Cet intervalle représente une grandeur physique fondamentale mesurée par sa pseudo-norme :

(Δx² + Δy² + Δz²) - (c²Δt²)

La différence entre la distance spatiale et la distance temporelle est invariante. Ce qui veut dire que si par changement de référentiel la distance spatiale entre 2 événements augmente, la distance temporelle séparant ces 2 mêmes événements diminue et inversement, pour au final garantir que la distance spatio-temporelle reste la même.

Voilà une grandeur qui n'a rien de relatif et qui colle à la réalité du monde.

Voilà le trait-d'union qui relie l'espace et le temps. Voilà l'essence même de l'espace-temps


• Intervalle de genre lumière ou pseudo-norme nulle

Δx² + Δy² + Δ=Δ

Les deux événements peuvent être joints par un signal ayant la vitesse 'c'. Dans la représentation de Minkowski, ce sont les surfaces des cônes de lumière. Elles marquent la trajectoire des photons.

Sur les cônes de lumière la pseudo-norme séparant les événements est nulle. Les astronomes ne s'en privent pas. En regardant le fond du ciel, ils remontent le temps à leur façon.

En fonction de la profondeur de l'observation, les informations qui leur parviennent sont l'image d'événements qui se sont produits il y a des milliards d'années. Ils ont un gros avantage sur les historiens, car le cosmos est un grand livre ouvert sur le passé.


• Intervalle de genre temps ou pseudo-norme négative

Δx² + Δy² + Δ<Δ

Dans le genre temps, il est possible de trouver un référentiel dans lequel deux événements interagissent entre eux ou dit autrement il est possible de trouver un référentiel dans lequel deux événements se déroulent au même endroit, "Clic … Clic" pour une horloge immobile par exemple. Dans ce cas là, la distance séparant les 2 événements est purement temporelle. Ils ne peuvent pas coexister ou dit autrement ils ne peuvent pas exister en même temps. Les 2 événements sont donc successifs, l'un étant dans le passé de l'autre, l'autre étant dans le futur de l'un.

Dans un intervalle de genre temps, l'ordonnancement des événements a un caractère absolu.

Dans la représentation de Minkowski, ce sont les événements situés à l'intérieur des cônes de lumière.

Ce genre d'espace-temps nous est accessible, il s'ouvre sur le cône des événements de notre futur et se referme sur le cône des événements de notre passé. Ils sont notre fenêtre sur le monde, et nous pouvons y tracer notre ligne d'univers.


• Intervalle de genre espace ou pseudo-norme positive

Δx² + Δy² + Δ>Δ

Dans le genre espace, il est possible de trouver un référentiel dans lequel deux événements coexistent c'est à dire se déroulent en même temps. Ils sont alors dans le même plan-espace. La distance séparant les deux événements est purement spatiale.

Mais ce qu'il faut bien comprendre, c'est que dans le genre espace les événements nous sont inaccessibles. Les événements situés hors des cônes de lumière sont dans la zone appelée "ailleurs". Si le 1er événement est 'ici-maintenant' - là où je me trouve - et si le 2eme est ailleurs, les 2 événements ne peuvent pas interagir.

La simultanéité des événements dépend du référentiel


Dans l'espace de Minkowski, on peut clairement visualiser l'ensemble des événements qui pour un observateur ont lieu au même moment. Ils forment son plan ou ligne d'instantanéité en fonction de la représentation 3D ou 2D de l'espace de Minkowski.

Mais à un certain instant, ce qui pour lui est présent, n'existe pas encore ou n'existe plus pour un observateur en déplacement par rapport à lui, ou dit autrement pour un observateur placé dans un autre référentiel.

2 événements ne sont concomitants que dans un seul et unique référentiel.

Dans un intervalle de genre espace, l'arrangement des événements dépend du référentiel. Sur l'animation, on voit que les repères de l'espace-temps se déforment en fonction du référentiel et que l'ordonnancement des événements est arbitraire. 'Clic … Clac' ou 'Clac … Clic' ou 'Clic-Clac'.

En résumé, cette théorie remet en cause notre intuition sur le monde et notamment les notions de simultanéité et d'instantanéité. Nous avons déjà vu que des événements simultanés dans un référentiel, ne le seront plus dans un autre. Notre intuition nous amène également à penser que la réalité est instantanée et que ce qui nous 'est présenté' existe 'maintenant'. Eh bien, la relativité restreinte fait voler en éclat cette représentation trop simpliste du monde. Même s'il nous semble légitime de parler de maintenant à l'autre bout de la planète ou à l'autre bout de la galaxie, la relativité nous dit que parler de 'ailleurs-maintenant' n'a aucun sens. Elle nous dit que le seul 'ici-maintenant' constitue la réalité du présent.

Imaginons que le soleil s'éteigne, sur terre nous ne le constaterions que 8 minutes plus tard.

Même au sein d'un même référentiel, la perception (instantanéité et simultanéité) des lumières rouge et verte n'est pas la même.

 

• Référentiel galiléen

Etienne Parizot nous donne la définition d'un référentiel galiléen dans l'espace-temps.

Dans l'espace-temps, un référentiel est une construction géométrique. Dans l'espace-temps, un corps sur lequel ne s'exerce aucune force a une trajectoire rectiligne. Sa ligne d'univers est une droite. Le référentiel "propre" à ce corps est galiléen.


• Quadri-vecteur

L'espace-temps est 1 structure quadri-dimensionnelle.

La position d'un objet dans l'espace-temps est déterminée par un quadri-vecteur position. De même, la vitesse d'un objet est déterminée par un quadri-vecteur vitesse.

 

• Les événements défilent …

Les événements du cône du futur vont progressivement passer dans l'ailleurs de l'observateur et il ne pourra plus interagir avec eux. Plus on se rapproche de l'observateur, plus son champ des possibles diminue. Un seul évènement va entrer en contact avec l'observateur, pour arriver à la singularité de 'son ici-maintenant'. Ainsi se construit sa ligne d'univers. Les événements qui quant à eux, entrent dans le cône du passé vont y rester, et c'est tant mieux. Tout du moins, tant que l'observateur 'existe' …

Ligne d'univers : Newton vs Einstein


Ci-dessus, deux animations sur le défilement de la ligne d'univers [en rouge] d'un observateur [point bleu], l'une relative à la vision de Newton et l'autre à celle d'Einstein. La ligne d'univers défile verticalement au niveau de l'observateur.

Chez Newton, le plan de simultanéité est horizontal. Les événements [points noirs] défilent verticalement de manière régulière.

Chez Einstein, le plan de simultanéité de l'observateur varie en fonction du référentiel galiléen coïncident à son "ici-maintenant". Les événements ne défilent plus verticalement de manière régulière mais de façon chaotique.


• Limite de la représentation

Dans la représentation de Minkowski, la ligne droite est la ligne d'univers qui a la projection la plus "longue" sur l'axe du temps. Mais attention cet effet est trompeur, la ligne droite est bien le chemin le plus "court" pour rejoindre deux événements. La ligne droite est le chemin sur lequel le temps "propre" est le plus fugace.

Le biais vient du fait que l'on vient plonger l'espace de Minkowski dans notre espace, espace répondant à une métrique euclidienne.

Dans un cas les distances sont calculées via une pseudo-norme (on soustrait la dimension temporelle) alors que dans l'autre les distances sont calculées via une norme, norme utilisée entre autre dans le théorème de Pythagore.

 

• Les temps "propres"

Le facteur de Lorentz

 

La lumière


• Une constante universelle : 'c'

Pour accélérer une particule, il faut augmenter son énergie cinétique, mais plus une particule va vite, plus son niveau d'énergie est élevé et plus il devient difficile de l'accélérer. Il existe ainsi une vitesse limite au déplacement de toute particule. Elle est notée 'c'. Seules les particules de masse nulle peuvent se déplacer à cette vitesse dans le vide.


• La vitesse de la lumière

Dans le vide, un photon a toujours la même vitesse 'c', quelle que soit la vitesse de sa source et quelle que soit celle de l'observateur.

Dans tout référentiel inertiel, la lumière peut être utilisée comme moyen de communication pour synchroniser des horloges immobiles.


• Les photons ne vieillissent pas

Si on considère les photons comme des particules, leur vitesse dans l'espace-temps ne se décline que sur leur seule composante spatiale. Leur composante temporelle est nulle. Les photons se déplacent dans l'espace à la vitesse de la lumière. L'horloge des photons n'a pas de tic-tac.


• Une autre manière de voir les choses

Dans l'espace-temps, tous les objets se déplacent à la même vitesse, la vitesse de la lumière. Sur leur ligne d'univers, ils se déplacent d'une seconde-lumière toutes les secondes.

Cependant en fonction du référentiel depuis lequel on les observe, les objets ont des vitesses temporelle et spatiale qui leur sont spécifiques.

Ces dernières sont relatives et elles dépendent du mouvement de chaque objet dans le référentiel considéré.

Plus vite que la lumière ? (ScienceClic)

 

Rapidement ...


La restriction de la relativité restreinte

La métrique de Minkowski inscrite dans le seul cadre de la relativité restreinte ne suffit pas à rendre compte de l’effet de la gravitation. La généralisation de la chrono-géométrie de Minkowski peut être formulée de la façon suivante.

Le principe d’équivalence - utilisé de manière conjointe par la relativité restreinte et la relativité générale - nous indique que deux horloges parfaites et statiques - séparées par une distance fixe - situées en des lieux ayant des potentiels gravitationnels différents se désynchronisent car les temps cumulés enregistrés sont distincts. Or dans une telle situation, la relativité restreinte considérée isolément ne prédit pas d’écart entre les horloges puisque sa métrique n'est pas liée à la gravitation et que deux horloges fixes dans un référentiel inertiel ne se décalent pas.

Il faut donc partir du postulat que si le principe d’équivalence est correct, il faut alors généraliser la métrique de Minkowski de façon à ce que ses coefficients dépendent de la gravitation ou de la masse-énergie.

Cela impose de chercher une théorie chrono-géométrique de la gravitation dont la relativité restreinte constituera un cas limite. Ce sujet sera instruit dans le cadre de la construction de la relativité générale.


 

Pour conclure …


La relativité restreinte est une théorie qui nous permet d'appréhender le fonctionnement du monde. Comme nous l'avons vu, c'est une théorie qui s'appuie sur une structure géométrique appelée espace-temps et qui [ne] prend en compte [que] le cas d'un observateur placé dans un référentiel inertiel. Elle nous permet d'avoir une bonne lecture des événements.

Einstein poussera plus loin sa réflexion afin de prendre en compte la "matière" tout du moins ordinaire. Il comprendra que l'univers est un objet à part entière, un objet qui contient la "matière" et dont la structure géométrique est l'espace-temps. Il expliquera par la théorie de la relativité générale que les objets qu'il contient le déforment. Il expliquera l'attraction gravitationnelle par une courbure de l'espace-temps. Mais cela est une autre histoire.


Pour en revenir à la relativité restreinte, elle s'invite également - et nous finirons sur ce point - dans le domaine de la physique des particules, les vitesses de ces dernières étant relativistes.

La théorie quantique des champs développée par des physiciens comme Dirac, Pauli, Heisenberg ou plus tard par Feynman, décrit l'évolution des particules dans le temps, en particulier leur apparition ou disparition quand elles interagissent. Afin de respecter la causalité au sein de ses équations, Dirac fait le pari en 1931 qu'il existe une antimatière, à savoir qu'à une particule comme l'électron correspond une anti-particule qu'on appellera le positron, prédiction qui sera vite confirmée par l'observation.


Existe-t-il un temps quantique ?

Etienne Klein


Cependant, les résultats d'expériences comme celles de Wheeler - expériences dites "à choix retardé" - semblent accréditer qu'il existe une sorte de "non-temporalité", tout comme il existe déjà une sorte de "non-localité" révélée par l'intrication quantique. Ces expériences attestent contre toute évidence que nous sommes capables de choisir le passé d’un photon après que ce passé se soit écoulé, le passé d’un photon n’existant qu’à partir du moment où il a été enregistré dans le présent. Autrement dit, c’est le présent qui semble décider de ce que sera le passé. C’est cette capacité d’intervenir sur le passé qui justifie l’utilisation de l’expression : "gomme quantique".

Nous sommes ici confrontés à une stupéfiante inversion du cours du temps si tant est qu’on puisse affirmer que "l’histoire ne dépend pas seulement du passé" et qu'elle peut aussi "être influencée par le futur" - Le cantique des quantiques, de Ortoli et Pharabod.


Comme le disait déjà Saint Augustin, il existe un présent du passé …

De là à penser qu'ils puissent interagir. Pour le savoir, il faudrait nous affranchir du temps , pas facile …


Cette série d'épisodes sur la relativité restreinte se termine. Nous avons vu que l'espace-temps est une entité à part entière et que c'est une belle découverte du début du XXe siècle. Elle nous permet d'avoir une meilleure lecture du monde, mais nous ne pouvons cependant que constater notre ignorance sur sa véritable nature, nous n'en percevons qu'une image, une image que nos sens veulent bien nous restituer.

Localité et temporalité sont des notions bien difficiles à cerner et elles cachent encore très certainement bien des mystères et des surprises.

Au final et comme aime à le dire Etienne Klein, nous sommes tous dans une prison à roulettes … Nous sommes cadenassés dans notre présent et emportés par le fil du temps. C'est la vie …


 

Newton vs Einstein

"Le temps est l'image mobile de l'éternité immobile" Platon

Episode 1

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