Espace affine

"L'espace n'existe pas, il faut le créer mais il n'existe pas."

Alberto Giacometti - Sculpteur (1901-1966)

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Un petit billet sur le topos.

La une de France soir du 18 mars 1951

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Espace Affine

✧✧ Un espace affine est un ensemble de points auquel on associe une structure, un espace vectoriel. Dans un espace affine, le bipoint (A,B) qui met en relation le point A avec le point B est orienté suivant le vecteur d'espace qui relie le point A au point B. C'est ce qui permet de se repérer. ✧ Dans un espace affine, on peut utiliser ce vecteur d’espace n’importe où, et si on le reporte à un autre endroit de l’espace, il reste identique à lui même. On est ainsi en mesure de définir une distance dite euclidienne :

La distance entre les points A et B est la norme du vecteur associé au bipoint (A,B)

Si on double la longueur du vecteur d'espace alors la distance entre les deux points, est multipliée par deux.

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Euclide

✧✧ Mais si on ne s'appuie plus sur le 5eme postulat d'Euclide (ou postulat des parallèles) qui pronostique que par un point extérieur à une droite, il ne peut passer qu'une et une seule droite parallèle, on ne peut plus se mettre d'accord sur la distance qui sépare les différents points de l’espace.

On est alors obligé de se projeter dans une géométrie non euclidienne et de se repérer d'une autre façon …

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Une nouvelle vision du monde

✧ En géométrie non euclidienne, un vecteur d’espace se limite au voisinage immédiat d'un point et ne permet donc plus de relier les points de l'espace entre eux.

✧ Un vecteur d'espace entre deux points devient vecteur en un point de l'espace comme n'importe quel autre vecteur attaché à n'importe quelle autre grandeur qui dérive d'une position, comme par ex une vitesse, une accélération ou encore une force …

✧ Mais la conséquence immédiate de ce changement de paradigme, est qu’il devient impossible de reporter un vecteur d’un point à un autre car il est spécifique au point où il s'applique.

✧ Ce constat où notamment les distances sont fluctuantes, va révolutionner la manière de voir le monde 👀. A terme, l'étude des espaces topologiques permettra à Einstein d'avoir les outils géométriques nécessaires à la construction de la relativité générale.