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  • Photo du rédacteurJC Duval

Topologie

C’est le thème du topos qui est ce 'lit', ou cette 'rivière profonde' où viennent s’épouser la géométrie et l’algèbre, la topologie et l’arithmétique, la logique mathématique et la théorie des catégories, le monde du continu et celui des structures 'discontinues' ou 'discrètes'.

Alexandre Grothendieck

 

La topologie est une branche très très riche des mathématiques. Elle est récente, elle est née au 19eme siècle. Elle pose les bases de la géométrie qu'elle soit euclidienne ou non, et elle intervient bien en amont des espaces vectoriels. Les espaces vectoriels sont sous-ensembles des espaces métriques qui sont eux-mêmes sous-ensembles des espaces topologiques.


✧ La topologie étudie les propriétés géométriques des objets, propriétés pouvant être préservées de certaines déformations, tout en s'interrogeant sur des questions d'espacement, sujets que l'on connait depuis l'antiquité avec les paradoxes de Zénon ou plus près de nous encore, les infinitésimaux de Newton et Leibniz.


✧ La topologie s’intéresse à définir ce qu’est un lieu appelé aussi 'espace'. Elle permet d'appréhender les limites de fonctions ou de suites. La plupart des notions de topologie, notamment la continuité sont des conséquences de la notion de limite. C'est le cas de la notion de dérivée qui se conçoit comme limite du taux d’accroissement ou encore de la tangente qui est la limite des cordes.


✧ La topologie est la théorie minimale nécessaire à la définition du voisinage d'un point. Le voisinage d'un point est une partie de l'espace qui contient un ouvert incluant ce point, l'ouvert étant une partie d'un espace topologique ne contenant aucun point de sa frontière par exemple l'intérieur d'une boule.

Un espace est un ensemble de points équivalents. Même s'ils sont distincts les uns des autres, tous les points se valent.

Le premier modèle historique d'espace topologique est l'ensemble ℝ des réels muni de sa topologie usuelle, la droite des réels. On se plonge ici dans un espace de dimension 1.


✔︎ C'est quoi une topologie ?

Une topologie est une famille de sous-ensembles ouverts d'un espace abstrait telles que l'union et l'intersection de 2 sous-ensembles ouverts sont membres de la famille, et qui comprend l'espace lui-même et l'ensemble vide.


Variété topologique.


✧ Afin de pouvoir se repérer, on définit une variété topologique comme un espace topologique que l'on peut 'cartographier'. Elle permet de se repérer dans l'espace, tout comme quand vous êtes en voiture avec votre carte GPS.

📏 Pour revenir à l'ensemble ℝ, au voisinage de chacun des réels, on peut associer un petit segment ouvert qui englobe chaque réel. L'ensemble des segments permet ainsi de recouvrir et cartographier la droite des réels.


Variété topologique et cartographie.


✧ De manière plus pragmatique, la topologie permet d'étudier comment les propriétés d'un système restent inchangées lorsqu'on le déforme, c'est pourquoi depuis maintenant quelques années on étudie la topologie des semi-conducteurs.

Réputées plus économes et plus rapides, les puces photoniques pourraient équiper les calculateurs du futur, mais les photons se manipulent moins facilement que les électrons. La stratégie consiste à recourir à la topologie pour étudier de nouvelles formes de circuits, l'objectif étant d'améliorer le transport des photons et permettre le traitement direct de l'information lumineuse transmise dans les fibres optiques, sans avoir à la transformer en signaux électriques. A suivre …


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