• JC Duval

La divergence

"Nos coutumes divergent et divergent c'est énorme"

Pierre Desproges

 

La divergence mesure l'expansion du flot d'un champ vectoriel. Mais faites attention, elle n'indique pas la direction de l'expansion, par conséquent pour chaque point du champ, la divergence est un scalaire.


Dans un billet consacré, nous avions vu que le gradient correspondait au taux de variation maximale de chacun des points d'une fonction. Nous avions pris l'exemple d'une piste de ski dont la pente maximale en chaque point peut être considérée comme le gradient et à la différence de la divergence, c'est un vecteur.


Reprenons la même analogie … vous êtes en haut des pistes et vous décidez de prendre la piste noire qui passe par le 'goulet de la mort'. Eh bien, la divergence est moins importante à l'entrée qu'à la sortie du couloir. Comme dans un entonnoir, plus vous vous approchez du goulet plus votre degré de liberté diminue et vous aurez d'autant plus de risque d'entrer en collision avec un autre skieur que vos trajectoires convergent.


A l'approche du goulet, la divergence est négative


• Une divergence négative en un point signifie que le flux est majoritairement entrant autour de ce point. On dit que le flot converge. A l'entrée du goulet, le degré de liberté de notre skieur diminue, son champ des possibles se réduit, la piste se rétrécit.

• Une divergence positive en un point signifie que le flux est majoritairement sortant autour de ce point. On dit que le flot diverge. A la sortie du goulet, le degré de liberté de notre skieur augmente, son champ des possibles s'agrandit, la piste s'élargit.

• Une divergence nulle en un point signifie que les flux entrant et sortant autour de ce point se compensent. Le flot est constant. Si la piste est plane, le degré de liberté de notre skieur reste le même, c'est une piste pour moi.

Ici un exemple appliqué à un champ de vitesses.

En rouge, divergence. En bleu, convergence.


Comme pour le gradient, la divergence peut aussi s'appliquer à un espace 3D, ce qui revient à mesurer l'expansion du volume du flot aux alentours de chacun des points du champ de vecteurs.

 

Différence entre gradient et divergence


L’opérateur gradient est symbolisé par le caractère nabla et il transforme un champ scalaire (f) en champ vectoriel. La flèche est sur l’opérateur gradient.

L’opérateur divergence est lui aussi symbolisé par le caractère nabla et il transforme un champ vectoriel (A) en champ scalaire. La flèche n'est pas sur l’opérateur divergence mais elle est sur le champ vectoriel.


Astuce

Le gradient est un vecteur.

Comme gradient et scalaire ont tous les 2 la lettre «a», on applique le gradient sur un scalaire.

La divergence est un scalaire.

Comme divergence et vecteur ont tous les 2 la lettre «v», on applique la divergence sur un vecteur.


Les vecteurs

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