• JC Duval

Le gradient

Si le ski alpin, alors qui a le beurre et la confiture ?

 

Quand vous faites du ski, vous cherchez la pente la plus forte pour descendre le plus vite possible. Sans le savoir, vous cherchez à suivre le gradient.

Pour chacun des points de la piste, le gradient est une grandeur vectorielle qui indique la ligne de plus grande pente. Le champ de neige peut être assimilé à un champ gradient, plus le gradient est élevé et plus la pente est raide.


D'un point de vue mathématique, le gradient peut aussi être associé à une dérivée directionnelle. Ce nom un peu barbare correspond cette fois ci à la pente que vous empruntez quand vous êtes sur vos skis. Comme vous êtes prudent, vous allez prendre un cap qui vous permettra de ne pas descendre trop vite. Sur les pistes noires, il est préférable de faire des virages pour éviter de partir droit dans la pente. ⛷

De manière plus générale, le gradient permet de fixer le taux de variation maximale de chacun des points d'une fonction. Pour le champion que vous êtes, la fonction décrit le relief de la montagne en donnant l'altitude pour chacun de ses points - la fonction décrit un champ scalaire - le gradient donnant l'inclinaison maximale de la pente et sa direction. Vous pouvez ainsi connaître la pente que vous suivez, relativement aux points des superbes courbes que vous tracez.

f est la fonction qui pour chaque point de la carte topographique, donne l'altitude à partir de la longitude et la latitude.

Si le déplacement est orthogonal au gradient, alors la pente du skieur est nulle, s'il est parallèle alors elle est maximale.

L'opérateur nabla

Interprétation graphique du gradient


Le gradient permet également de caractériser le taux de variation spatiale de certaines grandeurs aux alentours d'un point, comme par exemple la température d'un milieu ou encore la concentration d'un soluté. La fonction utilise alors trois variables x,y,z pour référencer les coordonnées de chaque point dans l'espace.

 

A.I.


La descente de gradient est l'un des algorithmes les plus importants du machine learning et du deep learning. Il s’agit d’un algorithme d’optimisation super puissant qui permet d’entraîner les modèles de régression. Grâce à cet algorithme la machine apprend et trouve le meilleur modèle.


Imaginez que vous soyez en pleine montagne, perdu en plein brouillard. Votre but est de rejoindre un refuge situé au fond de la vallée mais vous n'avez pas de carte et vous ignorez les coordonnées du refuge.

Utilisez la stratégie suivante qui va vous permettre de vous en sortir !

• Depuis votre position, cherchez la direction où la pente descend le plus fort.

• Une fois que vous avez trouvé cette direction, suivez là quelques centaines de mètres puis répétez l’opération. Au final, vous allez converger vers le fond de la vallée.

Cette stratégie n’est ni plus ni moins celle utilisée dans l’algorithme de la descente de gradient.

La descente de gradient

 

Pour ceux qui veulent en savoir plus …


Les vecteurs

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