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  • Photo du rédacteurJC Duval

Petites variations majeures

La vraie vie a lieu quand nous sommes seuls à penser, à ressentir, perdus dans les souvenirs, rêveusement conscients de nous-mêmes, des moments infinitésimaux.

 

Les symboles Δ (lettre delta majuscule), d (lettre d minuscule), δ (lettre delta minuscule) et (symbole d rond) sont très utilisés en maths et en physique.

Cependant, il ne faut pas se tromper, quand on les manipule, même si ces symboles traitent tous de variations, ils recouvrent des spécificités qui en font des objets distincts les uns des autres.

 

Δ

Ce symbole correspond à une variation au sens le plus général du terme, c'est-à-dire à la différence entre 2 quantités. Par convention, Δ représente un écart dit global.

En mathématiques, pour une fonction f(x) on note Δf = f(b) - f(a) l'écart entre les 2 valeurs de la fonction continue aux points b et a, et ce quelle que soit la distance séparant ces points.

 

d

dt, cet entracte infinitésimal pendant lequel j'ai tout juste le temps de comprendre ce qui m'est arrivé et de me préparer à ce qui m'attend.

La lettre d minuscule représente une petite variation, entre deux points très proches l'un de l'autre. Il s'agit donc toujours d'exprimer un écart, ou une différence, ou une variation, mais cette fois de façon locale et non plus de façon globale comme avec Δ.

En mathématiques, pour une fonction f(x) on note df = f(b) - f(a) l'écart entre les 2 valeurs de la fonction quand le point b tend à se confondre avec le point a.

df(x) correspond à un accroissement infinitésimal de x. On est sur une notion de différentielle.

Une des pierres angulaires de notre pensée est que dans l'infiniment petit, toute fonction dérivable tend à devenir linéaire.

 

δ

Une variation peut aussi se voir comme l'accumulation successive de plusieurs petits apports. On peut alors considérer chacun de ces apports comme une quantité élémentaire.

On utilise δ pour désigner une telle quantité. Cette variation ne concerne pas directement une fonction d'état, contrairement à d, on n’a pas affaire ici à la différentielle d'une grandeur.

✔︎ Je vous laisse regarder l'exemple illustré dans la petite vidéo à la fin du billet.

 

Pour finir, une grandeur ne dépend pas toujours d'une seule et unique variable. Pour une grandeur 'multi-paramétrée', le symbole représente une variation infinitésimale, comme pour d, mais il permet aussi de souligner qu'il ne s'agit que d'une variation partielle, c'est-à-dire engendrée par la variation d'une seule des variables dont dépend la grandeur en question.

En mathématiques, on associe cette notation à la dérivée partielle.

La dérivée partielle de la fonction f par rapport à la variable x est notée f/x.


Si f est une fonction de x , x₂, … , xₙ et dx₁, dx₂, … , dxₙ sont les accroissements infinitésimaux de x₁, x₂, … , xₙ alors :

df= f(x₁+dx₁,x₂+dx₂,…,xₙ+dxₙ) - f(x₁,x₂,…,xₙ) = (f/x).dx+ (f/x).dx+ …+ (f/xₙ).dx

 

Notation

Signification

Δ

variation totale globale

d

variation totale locale

δ

quantité élémentaire

variation partielle locale

 

Utilisation de d et δ dans l'exemple du travail

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