• JC Duval

Produit vectoriel

Vecteur : Segment de droite orienté, formant un être mathématique sur lequel on peut effectuer des opérations.

Le Robert

 

Nous avions abordé ce qu'était un produit scalaire, une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre et permet de jauger leur dépendance. Le scalaire dépend de la longueur des vecteurs et de l'angle qui les sépare. Le scalaire est le résultat du produit des longueurs des 2 vecteurs quand l'un est projeté sur l'autre ou inversement. A ce titre, le produit scalaire est commutatif.


Le produit vectoriel est quant à lui, de tout autre nature. Certes, tout comme le produit scalaire, il est le résultat d'une opération entre 2 vecteurs, mais chose essentielle, le produit vectoriel est un vecteur, et comme tout vecteur, il est caractérisé par une longueur et une direction. Dès lors, on peut en toute légitimité se demander comment ces différents vecteurs sont apparentés les uns aux autres.


Tout d'abord la direction du produit vectoriel est perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs dont il est le résultat et par convention, le sens est défini suivant la règle de la main droite.

R'gad' sô lô, si tu vô savoère c’que c'est ☞

Le produit vectoriel n'est pas commutatif, si on change l'ordre des vecteurs, il change de sens.


Ensuite la longueur ou module du produit vectoriel est l'interprétation géométrique de la surface du parallélo-gramme délimité par les deux vecteurs qui le composent.


Le module du produit vectoriel équivaut à l'aire du parallélogramme délimité par les vecteurs U et V.



Le produit vectoriel en bleu est perpendiculaire aux deux vecteurs rouges et son module est égal à l'aire du parallélogramme délimité par ces mêmes vecteurs.

 

On peut aussi calculer les coordonnées du produit vectoriel en utilisant le déterminant et à ce titre, l'approche algébrique est plus formelle mais reste malgré tout moins palpable que l'interprétation géométrique.

Personnellement, je trouve l'approche physique beaucoup plus intuitive.


Vous êtes crevé …


Pour changer la roue de votre voiture, vous allez devoir utiliser une clé et jouer avec le moment de force, une grandeur physique qui caractérise l'effet d'une force sur un objet tournant autour d'un axe. Sans le savoir vous allez mettre en pratique le produit vectoriel. Ne vous trompez pas de coté pour visser et dévisser les boulons, leur filetage a été conçu pour répondre à la convention retenue pour le produit vectoriel. Le serrage se fait dans le sens horaire. Cependant faites attention ⚠️ … sur certains vieux modèles de voitures comme la 'traction avant', afin d'éviter que les boulons de la roue ne se desserrent en roulant, le filetage côté conducteur est bien à droite mais le filetage côté passager est à gauche. Enfin n'ayez crainte, il y a peu de chance qu'un jour vous soyez amené à changer une roue coté droit sur une traction avant 😂

Le moment de la force dépend de la force et de la longueur du bras de levier. La force est optimale si elle est perpendiculaire au bras de levier.

 

Produit mixte


Le volume V du parallélépipède formé par les trois vecteurs A,B,C est donné par

Le produit mixte est l'interprétation géométrique du volume du parallélépipède, le produit entre la surface de base et la hauteur.



Les vecteurs

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